Side 1 av 1
Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 13/05-2020 17:42
av Honning
Hei!
Jeg har slitt med kjerneregelen en god stund, og sett mange videoer. Blir lett forvirret av hva som er funksjonen av hva.
Har tre spørsmål:
- kan man velge hva som er kjernen og hva som er funksjonen?
- jeg har lært at man enkelt kan tenke at kjerneregelen i praksis er funksjonen derivert gange kjernen derivert. Men jeg skjønner ikke helt hva funksjonen er. På eksempelet under (x-3)^6 leser jeg at (x-3) er kjernen. Er da ^-6 funksjonen? Eller er HELE tallet, dvs (x-3)^6 funksjonen? Jeg har lest og ser de bruker u og plutselig bytter denne til x, men det er bare forvirrende for meg.
Jeg klarte heller ikke å regne ut dette, har funnet to alternative måter å gjøre det på. Det stopper opp når jeg kommer til (x-3)^6 + 6x (x-3)^5
På løsningene er plutselig potensene borte noen steder. Limer inn løsning to under. Ganger de inn 6x i (x-3)^5? Hvorfor får plutselig (x-3) en mindre i potens?
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 13/05-2020 18:07
av Aleks855
I oppgaven brukes både produktregelen og kjerneregelen. Men la oss ta en liknende funksjon som kun trenger kjerneregelen, bare for å fokusere på det.
La $f(x) = (x-3)^6$ være funksjonen vi ønsker å derivere.
For å svare på et av spørsmålene; ja, vi kan fritt velge hva vi ønsker å bruke som kjerne.
En ting vi vet, er at en funksjon som $x^6$ ville vært enkel å derivere ved å bruke potensregelen. Og vi kan oppnå noe liknende hvis vi innfører
$$u(x) = (x-3)$$
Merk: jeg bruker $u(x)$ og $u$ om hverandre. De betyr det samme. Bare husk at $u$ er en funksjon av $x$.
Nå ser vi at $f(x)$ kan skrives som en funksjon av u i stedet, fordi $f(x) = (x-3)^6 = u^6$. La oss kalle denne funksjonen $g(u) = u^6$. Dette er akkurat samme funksjon som $f(x)$, men skrevet som en funksjon av $u$.
Vi trenger å vite $g'(u)$. Denne blir, ved potensregelen, $g'(u) = 6u^5$.
Vi trenger også å vite $u'(x)$ som blir $u'(x) = 1$.
Kjerneregelen forteller oss at $$\begin{matrix} f'(x) & =& g'(u) \cdot u'(x) \\ & =&6u^5 \cdot 1 \\ &=& 6u^5 & (\text{bytter tilbake } u=x-3) \\ &=& 6(x-3)^5 \end{matrix}$$
Nå vet vi at den deriverte av $(x-3)^6$ er $6(x-3)^5$.
Nå kan dette settes inn i produktregelen, siden funksjonen du egentlig skulle derivere var $h(x) = x(x-3)^6$, og du får bruk for å vite den deriverte av $x$ og av $(x-3)^6$ som vi nå ha sett på.
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 14/05-2020 11:12
av Honning
Tusen takk! Nå forstår jeg hele kjerneregelen, har aldri lest en bedre forklaring! Fantastisk.
Når det kommer til utregningen under, følger jeg med til (x-3)^6 + 6x (x-5)
Men etter det faller jeg av. De to eksemplene gjør resten av utregningen på ulike måter, men vet ikke helt hva noen av de gjør. Om noen har tid til å hjelpe meg med det, tror jeg jeg kommer meg igjennom derivasjonsdelen på eksamen:)))
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 14/05-2020 11:40
av SveinR
Ok, så du har fulgt med til
$ (x-3)^6 + 6x (x-3)^5$
For å faktorisere denne, kan vi se at $(x-3)$ er felles faktorer i begge ledd. I det første leddet har vi 6 stk av den faktoren, i det andre leddet har vi 5 stk. Det som er felles er dermed de fem, altså $(x-3)^5$.
Det kan kanskje hjelpe å skrive om det første leddet litt så vi får
$ (x-3)^5(x-3) + 6x (x-3)^5$
Om vi nå faktoriserer ut $(x-3)^5$ får vi
$(x-3)^5\bigl((x-3) + 6x\bigr)$
Så trekker vi sammen det som er inne i den store parentesen, og får til slutt
$(x-3)^5 (7x - 3)$
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 14/05-2020 14:14
av Honning
Ai, tusen takk!
Jeg skjønte ikke kjerneregelen først, men når jeg skjønte den, kom jeg frem dit, ja. Nå skjønner jeg hele! Veldig nyttig. Tusen takk, begge to!
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 20/05-2020 15:20
av Honning
Hei igjen!
Sliter med en liknende oppgave!
Delen med produktregelen er grei, men skjønner ikke hvordan jeg skal derivere v - dvs 1+e^-2x
Jeg tenker at 1+e er kjernen, og at 1+e^-2x er funksjonen.
Sliter med:
- 1+e derivert - hva er det? Jeg har tenkt null, men kanskje e derivert er 1, slik at det blir en.
- hele uttrykket derivert: blir ikke det -2(u) ? Dvs -2(1+e) ? Også skal dette ganges med kjernen derivert, som sikkert er 1, da. Men det blir jo feil. Legger ved oppgave og løsning under:
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 21/05-2020 17:45
av Honning
Noen? Har sovet på denne, men skjønner fremdeles ikke!
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 21/05-2020 18:05
av Kristian Saug
Honning skrev:Noen? Har sovet på denne, men skjønner fremdeles ikke!
Hei,
Det er regelen for derivasjon av brøk!
(u/v)' = ((u' * v) - (u * v'))/ v^2
og kjerneregel
(e^(kx))' = k * e^(kx)
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 21/05-2020 19:20
av Gjest
[/quote]
Du bruker rett og slett kvotientregelen. Den er som følger:
[tex]({\frac{u}{v}})^\prime=\frac{u^\prime\cdot v-u \cdot v^\prime} {v^2}[/tex]
Vi har da:
[tex]u=8[/tex]
[tex]v=1+e^{-2x}[/tex]
og
[tex]u^\prime=0[/tex]
[tex]v^\prime=-2e^{-2x}[/tex]
Insatt får du:
[tex]({\frac{8}{1+e^{-2x}}})^\prime=\frac{0\cdot 1+e^{-2x}-8 \cdot -2e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}[/tex]
Altså:
[tex]({\frac{8}{1+e^{-2x}}})^\prime=\frac{-8 \cdot -2e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}=\frac{16e^{-2x}} {(1+e^{-2x})^2}[/tex]
Skjønte?
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 21/05-2020 19:25
av SveinR
Honning skrev:Delen med produktregelen er grei, men skjønner ikke hvordan jeg skal derivere v - dvs 1+e^-2x
Jeg tenker at 1+e er kjernen, og at 1+e^-2x er funksjonen.
Sliter med:
- 1+e derivert - hva er det? Jeg har tenkt null, men kanskje e derivert er 1, slik at det blir en.
- hele uttrykket derivert: blir ikke det -2(u) ? Dvs -2(1+e) ? Også skal dette ganges med kjernen derivert, som sikkert er 1, da. Men det blir jo feil.
Du ønsker altså å derivere
$1 + e^{-2x}$
Her kan vi for det første derivere "ledd for ledd", slik at det blir
$\left(1 + e^{-2x}\right) = (1)' + \left(e^{-2x}\right)'$
Det første leddet er jo kun den deriverte av konstanten $1$, som blir $0$. Så det eneste vi trenger å bry oss om da er å derivere $e^{-2x}$
Det vi kan bruke her, er at vi vet hvordan vi deriverer $e^u$. Så det er
eksponenten som blir kjernen her, med $u=-2x$. Og da får vi
$ \left(e^{-2x}\right)' = \left(e^u\right)' = e^u \cdot u' = e^{-2x}\cdot (-2) = -2e^{-2x}$.
Det du nok har tenkt på, er hvis funksjonen du skulle derivert var $\left(1+e^x\right)^{-2}$. Da hadde det vært fornuftig å bruke $u=1+e^x$ som kjerne, siden vi da sitter igjen med en potens $u^{-2}$ å derivere. Men å derivere dette blir ikke helt slik du foreslår - gjerne forsøk på denne og spør om du gjør den rett
Re: Kjerneregel! Og utregning
Lagt inn: 25/05-2020 17:57
av cos
Honning: Kjernen er [tex]\: -2x[/tex]
Det ett-tallet du ser, er bare en konstant.