matematikk.net

Et spørsmål jeg fikk på mail:

Hvordan regne ut arealet av en regulær femkant?

Noen som tar opp hansken??


Kenneth

La oss si at vi kjenner sidelengden. Vi deler femkanten i 5 trekanter, der alle har et hjørne i senter av femkanten, og en side i femkanten er grunnlinje i hver trekant. Hvis vi kan finne arealet av en slik trekant finner vi arealet ved å multiplisere med 5.

Sett grunnlinjen i en trekant (en side i femkanten) til å være x. Vinkelen på motsatt side av grunnlinjen må være 360/5=72 grader.
De to siste vinklene må være like store, og de kan vi finne siden vinkelsummen i trekanten er 180. De to vinklene blir 54 grader.

Nå har vi alle vinklene i trekanten, samt grunnlinjen. Høyden(h) finner vi ved:
tan 54 = h/(x/2)

h=x*tan 54 /2

Arealet av trekanten blir da (x*x*tan 54 /2) /2 = x[sup]2[/sup] tan 54 / 4

Og femkanten 5x[sup]2[/sup] tan54 / 4

Tror dette skal stemme..