Differensiallikningar

[geil]

Hei!
Oppgåve 5.24 d) Sigma R2 2015
Har løyst denne oppgåva, men får ikkje fasit svar.
Er det nokon som kan hjelpe meg her

d) (x^2+3) y^( ʹ) - 2xy = 2(x^2+3)^2 P (0, 3)

(x^2+3) y^( ʹ) - 2xy = 2(x^2+3)^2 │: (x^2+3)
y^( ʹ) - 2x/((x^2+3) ) ·y = (2(x^2+3)^2)/((x^2+3) )
y^( ʹ) - 2x/((x^2+3) ) ·y = 2(x^2+3)

Den Integrerande faktoren er e^∫▒〖2x/((x^2+3) ) dx〗 = x^2+3.

Vi bruker substitusjon med u = x^2+3, du/dx = 2x, det gir du = 2x · dx,
dx = du/2x, Vi får

∫▒2x/(x^(2 )+ 3) dx = ∫▒1/u ·2x · du/2x = ∫▒1/u · du = ln ǀuǀ + C = ln (x^2+3)+ C

Den integrerande faktoren blir e^( ∫ 2x/(x^(2 )+ 3)) = e^(ln (x^2+3) ) = x^2+3

y^( ʹ) - 2x/((x^2+3) ) ·y = 2(x^2+3)
… Vi multipliserer med den integrerande faktoren x^2+3

y^( ʹ)·(x^2+3) + 2x/(x^(2 )+3)·(x^2+3)·y = 2(x^2+3)·〖(x〗^2+3)
… Vi bruker produktregelen for derivasjon «baklengs» på venstre side

(y ·(x^2+3))^( ʹ) = 2(x^2+3)^2

y (x^2+3) = ∫▒〖2(x^2+3)^2 〗 dx

… Vi integrerer kvar av sidene
Vi bruker substitusjon med u = x^2+ 3, dx = du/2x

y (x^2+3) = ∫▒〖2u^2 〗 du/2x

y (x^2+3) = 1/x ∫▒u^2 du

y (x^2+3) = 1/x · 1/(2+1) u^(2+1) + C

y (x^2+3) = u^3/3x + C

y (x^2+3) = 〖(x^2+ 3)〗^3/3x + C
… Vi finn y ved å dividere med x^2+3

y = ( 〖(x^2+ 3)〗^3/3x)/(x^2+ 3 ) + C/(x^2+ 3)

y = ( (x^2+3)^3 )/(3x(x^2+3)) + C/(x^2+ 3)

y = ((x^2+3)^2 )/3x + C/(x^2+ 3)

Vi set inn x = 0 og y = 3

3 = ((0^2+3)^2 )/(3·0) + C/(0^2+ 3)
3 = (C )/3
C = 9

Løysinga blir då

y = ( (x^2+3)^2 )/3x + 9/(x^2+ 3)

y = ( (x^2+3)^2 )/3x + 9/(x^2+ 3)

[Janhaa]

[tex]\large I=e^{-\int\frac{2x}{x^2+3}dx}=\frac{1}{x^2+3}[/tex]

etc...