rekursive tallfølger/induksjon

[geil]

Oppgåve 6.23 Sigma R2 2015
Forklar at ei geometrisk følgje er rekursiv.
Bevis ved induksjon at a_n = a_1 · k^(n -1) når n ≥ 1.

Har løyst noko nedanfor men står fast på bevis delen
Treng hjelp! for å kome i mål.

I rekursive talfølgjer er neste ledd uttrykt ved hjelp av tidlegare ledd i følgja

Ei følgje er geometrisk dersom forholdet mellom eit ledd og leddet framanfor er konstant:

a_n/a_(n-1) = k

Vi finn det neste leddet i følgja ved å multiplisere det føregåande leddet med kontanten k.
Formelen for ledd nr. n:

a_n = a_1 · k^(n-1)

Bevis ved induksjon at a_n = a_1 · k^(n -1) når n ≥ 1.

NB! Her står eg fast
Har prøvd meg nadanfor, men kjem ikkje mål.

For n = 1 gir formelen a_1 = a_1 · k^(1 -1) = a_1 · k^0 = a_1 Det stemmer.
Vi går ut frå at formelen er rett for n, det vil seie at a_n = a_1 · k^(n -1).
Vi må vise at formelen stemmer for n + 1, det vil seie at

a_(n + 1) = a_1 · k^((n+1) -1) = a_1 · k^((n+1) -1)

[josi]

Hei igjen!

$a_n = a_1k^{n - 1}$

Vi ser at formelen stemmer for n = 1:

$a_1 = a_1k^{1-1} = a_1k^0 = a_1$

For n = m +1 blir formelen

$a_{m + 1} = a_1k^{m + 1 - 1} = a_1k^m$

Vi får det samme resultat ved å foreta induksjonsskrittet:

$a_{m + 1} = a_mk = a_1k^{m - 1}\cdot k = a_1k^{m - 1 + 1} = a_1k^m$