Avstand fra punkt til linje (skalarprodukt,R1)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Avstand fra punkt til linje (skalarprodukt,R1)

Innlegg Fatteringenting » 15/11-2020 15:39

Forstår ikke hva jeg gjør galt her - så setter virkelig stor pris på om dere kunne vise meg den rette metodikken.

Oppgave: "Finn avstanden mellom punktet P og linja l."
P = (5,8) A= (-2,1) og B= (14,-5). Svar i fasiten: 9.0

Hvordan jeg løser problemet:

Først: finn vektorene AB og PA:

AB = [14-(-2),(-5)-1] = [16,-6]
PA = [(-2)-5, 1-8] = [-7,-7]

Deretter prøver jeg å finne punktet Q på l, som skal ligge nærmest P(5,8). Jeg definerer Q med PQ, som blir definert med PA og AB

PQ= PA+AQ= PA+ k*AB = [-7,-7] + [16k,-6k] = [16k-7,-6k-7]
PQ= [16k-7,-6k-7]

Så finner jeg k:

Siden vektorene kommer til å stå vinkelrett på hverandre, er AB*PQ = 0

[16,-6]*[16k-7,-6k-6] = 0
16(16k-7)+(-6)(-6k,-6) = 0

256k - 112 + 36k + 36 = 0

k= 76/292 som kan forenkles til 19/73. Så vi har funnet ut at k må være 19/73 for at det skal gå opp.

Jeg kommer tilbake til PQ og skifter ut k med brøken:

[16*(19/73) - 7, (-6)*(19/73) - 6]

[304/73 - 7, -114/73 - 6]

[-207/73, -552/73] - jeg velger å ikke simplifisere dem til -2*61/73 og -7*41/73 fordi for å finne svaret, må jeg sette de brøkene i en kvadratrot formel uansett.

Avstanden mellom linjen l og P er representert i |PQ| = |[-207/73,-552/73]|

|PQ|= |[-207/73,-552/73]|= √ (-207/73)^2 + (-552/73)^2 = √4761/73 = √6522 = 8.076.

Så jeg får svaret 8.076 når fasiten sier at det riktige svaret er 9.0

Ser dere noen hull i fremgangsmåten her? Hva hadde dere gjort annerledes?

Takker på forhånd og setter stor pris på hjelpen!
Fatteringenting offline

Re: Avstand fra punkt til linje (skalarprodukt,R1)

Innlegg Janhaa » 15/11-2020 16:58

Du må kanskje gjøre oppgava på måten din, som er ganske omstendelig. Ville gjort slik:

pkt.ene gjennom A og B gir linja L:

[tex]y_L=-\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\\ dvs:\\ \frac{3}{8}x+y-\frac{1}{4}=0\\[/tex]
så bruker man samme tanke-gang og formel som avstand fra pkt til plan:
[tex]P=(5, 8)[/tex]
bare nå avstand (d) fra pkt P til linja L, altså:

[tex]d=\frac{|\frac{3}{8}*5+1*8-\frac{1}{4}|}{\sqrt{1^2+(\frac{3}{8})^2}}=\frac{9,625}{1,068}=9,0[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8288
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Avstand fra punkt til linje (skalarprodukt,R1)

Innlegg SveinR » 15/11-2020 19:01

Janhaa skrev:så bruker man samme tanke-gang og formel som avstand fra pkt til plan

Denne eleven går i R1, så har nok aldri jobbet med avstander fra punkt til plan som kommer i R2... :)


For å holde oss til hva man normalt kan gjøre i R1, uten å ha sett noen formler for tilsvarende problemer tidligere:
Oppgave: "Finn avstanden mellom punktet P og linja l."
P = (5,8) A= (-2,1) og B= (14,-5). Svar i fasiten: 9.0

Som du er inne på kan vi bruke at prikkproduktet $\vec{AB}\cdot\vec{PQ} = 0$, der $Q$ er det nærmeste punktet på linja, og bruke dette til å finne koordinatene til $Q$, og dernest avstanden $\vec{PQ}$.
Jeg har ikke gått din besvarelse i detalj, men ser at tallene blir ganske stygge her - det er sannsynligvis forventet at du skal bruke hjelpemidler. I CAS kan vi ganske enkelt gjøre noe slikt i stedet:

Bilde


Om du synes dette virker litt "juksete", kan vi i stedet la CAS gjøre utregningene basert på din fremgangsmåte - da ser du kanskje også hvor du regnet feil:
Bilde
SveinR offline
Brahmagupta
Brahmagupta
Innlegg: 394
Registrert: 22/05-2018 21:12

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 90 gjester