matematikk.net

Hei har ei oppgåve 7.4 a) Sigma R2 2015


NB! Har løyst oppgåva, Sjå nedanfor
Lurer på om dette er riktig løyst
og eventuelt kan den løysast på andre måter.
Hadde vore fint om nokon kunne hjelpe meg her.

Oppgåve 7.4
Løys differensiallikningane:

a) y ʹʹ – 4y ʹ = 0

Vi set y ʹ = z og y ʹʹ = z ʹ og får

z ʹ – 4z = 0 │· 1/z
1/z z ʹ = 4
∫ 1/z · dz/dx dx = ∫ 4 dx
ln|z| = 4x + A_2
e^ln|z| = e^(4x + A_2 )
z = e^(A_2 ) · e^4x e^(A_2 ) = A_1
z = A_1 e^4x
z = Ae^4x … y ʹ = z, og vi finn y ved å integrere z
y = ∫ A_1 e^4x dx = 4A_1 e^4x + B 4A_1 = A
y = Ae^4x + B

Differensiallikninger på den formen har karakteristiske polynomer.

For denne likninga har du

$$r^2-4r=0\Leftrightarrow r=0 \ \vee \ r=4 $$

Hvor differensiallikningen har løsningen

$$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

Som gir tilsvarende svar som du har fått.