Hei!
Sliter med denne oppgaven. Har regnet den men skjønner lite, og følger jeg har for mange utregninger.
Har lagt filen nederst her. Noen som har et bra løsningsforslag? Gjerne med hvilke metoder og regler man bruker! Slik at jeg forstår!
Takk på forhånd!
R2 Integralregning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hvordan så det ut da du regna den?
Hei, her kan vi se at den deriverte av nevneren ($2x$) i grunnen dukker opp i telleren (der står det $3x$, men konstanter kan vi alltids fikse - f.eks. om vi utvider med $\frac{2}{2}$, så kan vi skrive om integralet til:
$\int\frac{3x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int\frac{2}{2}\frac{3x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int\frac{3}{2}\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x$
Poenget med å gjøre dette, er at vi nå kan bruke substitusjon: Innfører vi $u=x^2-4$, så har vi at $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \Rightarrow \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$.
Nå kan vi forenkle integralet betraktelig, siden nevneren nå kun er $u$, og resten, altså $2x\,\mathrm{d}x$, er lik $\mathrm{d}u$. Dermed får vi
$\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\int\frac{1}{u}\,\mathrm{d}u$
Da tar du kanskje resten?
Hovedpoenget her er at teknikken med substitusjon er grei å bruke dersom vi kan se at vi kan dele opp uttrykket i én funksjon, og den deriverte av denne funksjonen.
$\int\frac{3x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int\frac{2}{2}\frac{3x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int\frac{3}{2}\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x$
Poenget med å gjøre dette, er at vi nå kan bruke substitusjon: Innfører vi $u=x^2-4$, så har vi at $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x \Rightarrow \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$.
Nå kan vi forenkle integralet betraktelig, siden nevneren nå kun er $u$, og resten, altså $2x\,\mathrm{d}x$, er lik $\mathrm{d}u$. Dermed får vi
$\frac{3}{2}\int\frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\int\frac{1}{u}\,\mathrm{d}u$
Da tar du kanskje resten?
Hovedpoenget her er at teknikken med substitusjon er grei å bruke dersom vi kan se at vi kan dele opp uttrykket i én funksjon, og den deriverte av denne funksjonen.