Differensiallikningar

[geil]

Har ei oppgåve som eg har prøvd å løyse sjå nedanfor.

Oppgåve TEST 7E Sigma R2 2015
Test 7. E
a) Løys likninga y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0
b) Vis at f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.
c) Teikn grafen til f når x ∈ [0, 4π].
d) Vis at maksimalverdiane av f utgjer ei geometrisk rekkje. Kva er kvotienten i rekkja?

Her er mi løysing
a) Løys likninga y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0

Denne differensiallikninga har den karakteristiske likninga

r^2 + 0,8r + 1,16 = 0

Vi løyser likninga og får:

r=(- 0,8± √(〖(0,8)〗^2-4 ·1 ·1,16))/(2 · 1) = – 0,8/2 ± ( √(0,64- 4,64))/2 = – 0,8/2 ± ( √(- 4,0))/2 = – 0,8/2 ± ( √4 · √( - 1) )/2
= – 2/5 ± ( 2 · √( - 1) )/2 = = – 2/5 ± √( - 1) = – 2/5 ± ὶ

Den karakteristiske likninga har ingen reelle løysingar. Vi set √(- 1) = ὶ. Løysingane til den karakteristiske likninga kan då skrivast r = p ± ὶ · q, og løysinga til likninga blir

y = e^( px) · (A · sin qx + B · cos qx)
y = e^(- 2/5 x) · (A · sin x + B · cos x)
y = e^(- 0,4 t) · (A · sin x + B · cos x)

b) Vis at f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.

y_0 = 20e^(- 0,4 x) · cos
y_0 ʹ = (20e^(- 0,4 x) · cos x)^( ʹ) = – 0,4 · 20e^(- 0,4 x) · cos x + 20e^(- 0,4 x) · (– sin x)
= – 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x
y_0 ʹʹ = (– 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x)^( ʹ)
= (– 0,4) · (– 8)·e^(- 0,4 x)·cos x – 8e^(- 0,4 x)·(–sin x) – (– 0,4)·20e^(- 0,4 x)·sin x
+ (– 20) ·e^(- 0,4 x) · cos x
= 3,2 · e^(- 0,4 x) · cos x + 8e^(- 0,4 x) ·sin x + 8e^(- 0,4 x)·sin x – 20e^(- 0,4 x) · cos x
= 16e^(- 0,4 x) ·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x

y ʹʹ + 0,8y ʹ + 1,16y = 0
16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x + 0,8 · (–8e^(- 0,4 x)·cos x –20e^(- 0,4 x)·sin x)
+ 1,16 · (20e^(- 0,4 x) · cos x) = 0
16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x –6,4e^(- 0,4 x)·cos x –16e^(- 0,4 x)·sin x
+ 23,2e^(- 0,4 x) · cos x = 0

16e^(- 0,4 x)·sin x – 16,8e^(- 0,4 x) · cos x –6,4e^(- 0,4 x)·cos x –16e^(- 0,4 x)·sin x
+ 23,2e^(- 0,4 x) · cos x = 0
0 = 0

f (x) = 20e^(- 0,4 x) · cos x er ei løysing til likninga i a.

d) Vis at maksimalverdiane av f utgjer ei geometrisk rekkje. Kva er kvotienten i rekkja?

f ʹ (x) = – 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x

For å rekne ut toppunktet set vi f (x) ʹ = 0. Vi dividerer med e^(- 0,4x) og får ei trigonometrisk likning der vi på vanleg måte får fram tan x ved å dele med cos x.

f ʹ (x) = 0

– 8e^(- 0,4 x) · cos x – 20e^(- 0,4 x) · sin x = 0 │: e^(- 0,2x)
– 8 cos x – 20 sin x = 0 │: cos x cos x ≠ 0
– (8 cos⁡x)/cos⁡x – (20 sin⁡x)/cos⁡x = 0
– 8 – 20 tan x = 0
20 tan x = – 8
tan x = – 8/20
tan x = – 2/5 x = tan^(- 1) (– 2/5)≈ - 0,3805

Likninga tan x = – 2/5 ≈ gir x = - 0,3805 + n · π.

Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.

Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får toppunkt anna kvar gong , det vil
seie for
n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = - 0,3805 + k · 2π, der k = 0, 1 , 2, ….

Forholdet mellom maksimalverdiane for k + 1 og k blir då

k = e^(- 0,4 (5,9027 + (k + 1) · 2π))/〖e 〗^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π) ) = e^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π +2π) ) · 〖e 〗^(- 0,4 (-5,9027 - k · 2π))
= e^(- 0,4 (5,9027 + k · 2π +2π -5,9027 - k · 2π) )
= e^(- 0,4 · 2π )

Forholdet er konstant, og vi har då ei geometrisk rekkje.

Kvotienten i rekkja er k = e^(- 0,4 · 2π )= 0,081.

HEI! Det er oppgåve d) eg slit med korleis den skal gjerast og førast, har prøvd å
følgje eksempel 17 s 284 i læreboka, men forstår ikkje heilt deloppgåve e)
KAN NOKON HJELPE MEG HER?

[josi]

HEI! Det er oppgåve d) eg slit med korleis den skal gjerast og førast, har prøvd å
følgje eksempel 17 s 284 i læreboka, men forstår ikkje heilt deloppgåve e)
KAN NOKON HJELPE MEG HER?

Hei igjen!

Hva er det du ikke forstår i dn fremstilling av svaret på spørsmål d)?

Og hvor er deloppgave e)?

[geil]

Hei!
Når det gjeld oppgåva TEST DEG SJØLV /E lurer eg på om eg har gjort riktig a) og b)
c) grafen er ok
Når det gjeld d) har eg gjort det riktig?
Har eg funne rett k = 0,081?
kva blir ledd a_1 er det
f (-0,3805) = 20e^(- 0,4 x) · cos x = 20e^(- 0,4 ·(-0,3805))· cos (-0,3805) ≈ 21,6223
Kva blir neste ledd
a_n = a_(n -1) · k = a_2 = 21,6223 · 0,081 = 1,7514r
Det ser riktig ut frå grafen min.

Oppgåve e) er den frå kap 7.9 Samansette eksempel
i læreboke Sigma R2 2015 s 284 eksempel 17

e) Likninga tan x = 5 gir x = 1,3734 + n · π.

Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.

Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får botnpunkt anna kvar gong , det vil
seie for n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = 1,3734 + k · 2π, der k = 0, 1 , 2, ….

NB! Kva betyr dette?
Vi har sin (1,3734 + k · 2π) = sin 1,3734. Perioden er sinus er 2π

Forholdet mellom maksimalverdiane for k + 1 og k blir då

NB! kvifor k + 1/ k er det at a_n/a_(n-1) = k ⇒ a_k + 1/a_k = k

k = e^(- 0,2 (1,3734 + (k + 1) · 2π))/〖e 〗^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π) ) · 〖e 〗^(- 0,2 (-1,3734 - k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π -1,3734 - k · 2π) ) = e^(- 0,2 · 2π )

Forholdet er konstant, og vi har då ei geometrisk rekkje.

[josi]

Hei!
Når det gjeld oppgåva TEST DEG SJØLV /E lurer eg på om eg har gjort riktig a) og b)

Det ser riktig ut

c) grafen er ok
Når det gjeld d) har eg gjort det riktig?
Har eg funne rett k = 0,081?

Det er jo riktig

kva blir ledd a_1 er det
f (-0,3805) = 20e^(- 0,4 x) · cos x = 20e^(- 0,4 ·(-0,3805))· cos (-0,3805) ≈ 21,6223
Kva blir neste ledd
a_n = a_(n -1) · k = a_2 = 21,6223 · 0,081 = 1,7514r
Det ser riktig ut frå grafen min.

Oppgåve e) er den frå kap 7.9 Samansette eksempel
i læreboke Sigma R2 2015 s 284 eksempel 17

e) Likninga tan x = 5 gir x = 1,3734 + n · π.

Vi får toppunkt anna kvar gong, det vil seie for n = 0, n = 2, n = 4 osv.

Dei andre verdiane av n gir botnpunkt. Vi får botnpunkt anna kvar gong , det vil
seie for n = 1, n = 3, n = 5 osv.

Toppunkta er då definerte ved x = 1,3734 + k · 2π, der k = 0, 1 , 2, ….

NB! Kva betyr dette?

Som du selv har vist, toppunktene starter meed x = 1.37 og fortsetter med en avstand 2π mellom hverandre

Vi har sin (1,3734 + k · 2π) = sin 1,3734. Perioden er sinus er 2π

Forholdet mellom maksimalverdiane for k + 1 og k blir då

NB! kvifor k + 1/ k er det at a_n/a_(n-1) = k ⇒ a_k + 1/a_k = k

Det følger av regelen for forholdet mellom to eksponentialuttrykk:

$\frac{a_{k + 1}}{a_k} = $

$\frac {e^{-0.2(1.37 + (k + 1)2\pi)}}{e^{-0.2(1.37 + k \cdot 2\pi)}} = e^{-0.2(1.37 + k\cdot 2\pi +2\pi -1.37 - k\cdot 2\pi)} = e^{-0.2\cdot 2\pi}$

k = e^(- 0,2 (1,3734 + (k + 1) · 2π))/〖e 〗^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π) ) · 〖e 〗^(- 0,2 (-1,3734 - k · 2π) )
= e^(- 0,2 (1,3734 + k · 2π +2π -1,3734 - k · 2π) ) = e^(- 0,2 · 2π )

Forholdet er konstant, og vi har då ei geometrisk rekkje.