Differensiallikningar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
geil

Hei har ei oppgåve B7.40 Sigma R2 2015
Sjå mi løysing nedanfor.
Har fått til alle trur eg,
men e) Kva verdi av φ_0 gir feil mindre enn 1 %? får eg ikkje til
Kan nokon hjelpe meg her

B 7.40
For ein planpendel med små vinkelutslag kan vi vise at dersom det maksimale vinkelutslaget er φ_0, gjeld formelen for svingetid:

T = 2π · √(l/g) · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 φ_0/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 φ_0/2 )

Vi set l = 1,55 m og g = 9,81 m/s2.

a) Finn svingetida når vinkelutslaget er liten.
b) Finn svingetida når det maksimale vinkelutslaget er φ_0 = 30°.
c) Finn avviket i prosent når φ_0 = 10°.
d) Finn avviket i prosent når φ_0 = 30°.
e) Kva verdi av φ_0 gir feil mindre enn 1 %?

a) Finn svingetida når vinkelutslaget er liten.

Vi set vinkelutslaget til φ_0 = 0° og får då:
T = 2π · √(1,55/9,81) · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 0/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 0/2 )
T = 2,4975 · (1+0+ 0)
T ≈ 2,4975 s
T ≈ 2,50 s

b) Finn svingetida når det maksimale vinkelutslaget er φ_0 = 30°.
T = 2π · √(1,55/9,81) · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 30/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 30/2 )
T = 2,4975 · (1+0,25 ·0,0670+ 0,140625 ·0,0045)
T = 2,4975 · (1+ 0,0167+0,0006)
T ≈ 2,5407 s
T ≈ 2,54 s
c) Finn avviket i prosent når φ_0 = 10°.
T = 2π · √(1,55/9,81) · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 10/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 10/2 )
T = 2,4975 · (1+0,25 ·0,0076+ 0,140625 ·0,0045)
T = 2,4975 · (1+ 0,0019+0,000008)
T ≈ 2,5023 s

Avviket = (2,5023-2,4975)/2,4975 · 100 % ≈ 0,2 %

Avviket i prosent når φ_0 = 10° blir 0,2 %.

d) Finn avviket i prosent når φ_0 = 30°.

Avviket = (2,5407-2,4975)/2,4975 · 100 % ≈ 1,7 %

Avviket i prosent når φ_0 = 30° blir 1,7 %.

Her står eg fast.
e) Kva verdi av φ_0 gir feil mindre enn 1 %?

(x-2,4975)/2,49750 · 100 % = 1 %
100 x – 249,75 = 2,4975
100 x = 252,2475
x = 2,522475
x ≈ 2,5225

Vinkelutslaget gir T = 2,5225

2,5225 = 2,4975 · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 x/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 x/2 )
Korleis kan ein rekne dett ut, eller kan det gjerast på ein anna enklare måte?
josi

Vinkelutslaget gir T = 2,5225

2,5225 = 2,4975 · (1+ 1^2/2^2 · sin^2 x/2+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · sin^4 x/2 )
Korleis kan ein rekne dett ut, eller kan det gjerast på ein anna enklare måte?


Sett sin^2(x) = u, så får du en 2.gradslikning.
geil

Hei!
Takk for god hjelp

Her er mi løysing på del e) sjå nedanfor
Har fått 22,8 grade mens det står 23 grade i fasiten.
Rekna med at det likevel er riktig.
va verdi av φ_0 gir feil mindre enn 1 %?

(x-2,4975)/2,49750 · 100 % = 1 %
100 x – 249,75 = 2,4975
100 x = 252,2475
x = 2,522475
x ≈ 2,5225

sin^2 x = u

2,5225 = 2,4975 · (1+ 1^2/2^2 · u+ 1^2/2^2 · 3^2/4^2 · u^2 )
2,4975 – 2,5225 + 0,624375 u + 0,351209375 u^2 = 0
0,351209375 u^2 + 0,624375 u – 0,025 = 0

u_1 = 0,03918 og u_2 = 1,5

sin^2 x = 0,03918
sin x = √0,0392
sin x = 0,19794 x = sin^(- 1) (0,19794) = 11,4° eller 0,1993 rad.

Rad:
x/2 = 0,1993
x = 2 · 01993
x ≈ 0,40 rad

Grader:
x/2 = 11,4
x = 2 · 11,4
x ≈ 22,8°

Verdien φ_0 < 22,8° eller φ_0 < 0,40 rad gir feil mindre enn 1 %?
josi

Ser fornuftig ut!
Svar