Differensiallikningar

[geil]

Oppgåve A 7.48 SIGMA R2 2015
Hei!
Har løyst oppgåve A 7.48 og fått
følgjande svar på a) y = e^(- 0,2x)·(0,016 sin⁡〖2.44x+〗 0,2 cos⁡2,44x )

fasiten seier
0,2 e^(- 0,2x) cos⁡ 2,44x det kan vel ikkje vere riktig elle ?

Mi løysing nedanfor
a) Set opp ei differensiallikning for utslaget y (t) og løys likninga.

myʹʹ + qyʹ + Dy = 0
y ʹʹ + 0,20/0,5 yʹ + 3,0/0,5 y = 0
y ʹʹ + 0,4 yʹ + 6 y = 0

Den karakteristiske likninga er:

r^2 + 0,4r + 6 = 0

Løysinga blir då:

r=(- 0,4 ± √(〖(0,4)〗^2 - 4 · 1 · 6))/(2 · 1) = (- 0,4 ± √(〖(0,4)〗^2 - 4 · 1 · 6))/(2 · 1) = – 0,4/2 ± √(0,16 - 24)/2 = – 0,2 ± √( - 23,84)/2
= – 0,2 ± (√23,84 · √( -1 ))/2 = – 0,2 ± (4,88 · √( -1 ))/2 = – 0,2 ± 2,44ὶ

Løysinga til likninga blir då:

y = e^px·(A sin⁡〖qx+〗 B cos⁡qx )

y = e^(- 0,2x)·(A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x )

Vi set y (0) = 0,2

e^(- 0,2x)·(A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x ) = 0,2
e^(- 0,2 · 0)·(A sin⁡〖2.44 · 0+〗 B cos⁡〖2,44 ·0〗 ) = 0,2
e^0·(A ·0+B ·1) = 0,2
B = 0,2

Vi deriverer y og får då:

y ʹ = (e^(- 0,2x)·(A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x ))^( ʹ)
= – 0,2e^(- 0,2x) (A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x ) + e^(- 0,2x) (2,44A cos⁡〖2.44x –2,44B〗 sin⁡2,44x )

Vi set inn y ʹ (0) = 0

– 0,2e^(- 0,2x) · (A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x ) + e^(- 0,2x)·(2,44A cos⁡〖2.44x –2,44B〗 sin⁡2,44x ) = 0
– 0,2e^(- 0,2 · 0) (A sin⁡〖2.44·0+〗 Bcos⁡〖2,44·0〗 )+e^(- 0,2 · 0)(2,44Acos 2,44·0 – 2,44Asin2,44·0) = 0
– 0,2e^0· (A ·0+B ·2,44·1) + e^( 0) · (2,44A · 2,44 · 1 – 2,44Asin · 0) = 0
– 0,2 · 2,44B + 2,44A · 2,44 = 0
5,95A = 0,488B
A = 0,488/5,95 B

A = 0,488/5,95 · 0,2
A = 0,016

Løysinga av y (t) blir då:

y = e^(- 0,2x)·(0,016 sin⁡〖2.44x+〗 0,2 cos⁡2,44x )

[josi]

Hei igjen!

Tror hunden ligger begravet i følgende seksjon:

Vi set inn y ʹ (0) = 0

– 0,2e^(- 0,2x) · (A sin⁡〖2.44x+〗 B cos⁡2,44x ) + e^(- 0,2x)·(2,44A cos⁡〖2.44x –2,44B〗 sin⁡2,44x ) = 0
– 0,2e^(- 0,2 · 0) (A sin⁡〖2.44·0+〗 Bcos⁡〖2,44·0〗 )+e^(- 0,2 · 0)(2,44Acos 2,44·0 – 2,44Asin2,44·0) = 0
– 0,2e^0· (A ·0+B ·2,44·1) + e^( 0) · (2,44A · 2,44 · 1 – 2,44Asin · 0) = 0
– 0,2 · 2,44B + 2,44A · 2,44 = 0
5,95A = 0,488B
A = 0,488/5,95 B



$y\,= e^{-0.2x}(Asin(2.44x + Bcos(2.44x), B = 0.2,\,y = e^{-0.2x}(Asin(2.44x + 0.2cos(2.44x))$

$y´= -0.2e^{-0.2x}(Asin(2.44x) + 0.2cos(2.44x) + e^{-0.2x}(2.44cos(2.44x) - 0.2\cdot 2.44sin(2.44x)$

$0 = 2.44\cdot\, A\, =>\,A = 0$

$ y = e^{-0.2x}cos(2.44x)$

Så her tror jeg fasiten har rett.

[josi]

Korreksjon:

$y\,= e^{-0.2x}(Asin(2.44x) + Bcos(2.44x)), B = 0.2,\,y = e^{-0.2x}(Asin(2.44x) + 0.2cos(2.44x))$

$y´= -0.2e^{-0.2x}(Asin(2.44x) + 0.2cos(2.44x)) + e^{-0.2x}(2.44Acos(2.44x) - 0.2\cdot 2.44sin(2.44x))$

$y´(0) = 0,\, = -0.2\cdot 0.2 + 2.44\cdot A = 0$

$A = \frac{0.04}{2.44} = 0.016$

$ y \approx e^{-0.2x}0.2cos(2.44x)$

[geil]

Tusen Takk
Då snakkar vi same språk.
A = 0,016 også avrundar vi til null, og då får
vi fasit svaret. y = 0,2e^(- 0,2x)·cos⁡2,44x

[geil]

Hei!
y = e^(- 0,2x)·(0,2 cos⁡2,44x )
b) Bruk digitalt verktøy til å teikne v (t) og a (t).
Er det riktig at v (t) = y ʹ (t) og a (t) = y ʹʹ (t)