Differensiallikningar

[geil]

Hei!
Har ei oppgåve som eg ikkje kjem i mål med
Oppgåve B 7.52 Sigma R2 2015
B 7.52
Vi har gitt differensiallikninga

x · y ʹʹ + 1/2 · y ʹ – 3/2x · y = 0

a) Vis at y_0 = x^n er ei løysing for nokre verdiar av n.
b) La y = u · y_0 og finn den generelle løysinga.
c) Finn løysinga som går gjennom (1, 2), og der y ʹ (1) = 3.

Finn n = 1,5, men korleis finn eg n = - 1 a)
Har problemer med å finne integrerande faktoren del b)

Sjå mi løysing nedanfor:
a) Vis at y_0 = x^n er ei løysing for nokre verdiar av n.

y_0 = x^n
y_0 ʹ = (x^n )^( ʹ) = nx^(n -1)
y_0 ʹʹ = (nx^(n -1) )^( ʹ) = (n – 1) · nx^((n -1)-1) = n(n – 1) · x^(n -2)





Vi set inn i differensiallikninga og får

x · y ʹʹ + 1/2 · y ʹ – 3/2x · y = 0
x · (n(n- 1) · x^(n -2)) + 1/2 · (nx^(n -1)) – 3/2x · (x^n) = 0
x · (n(n - 1) · x^n · x^(- 2)) + 1/2 · (n · x^n · x^(-1)) – 3/2x ·(x^n) = 0
x^(1 - 2) · (n(n - 1) · x^n) + 1/2 x^( -1) · (n · x^n) – 3/2x x^n = 0
x^(- 1) · n(n - 1) · x^n + 1/2 x^( -1) · n · x^n – 3/2x x^n = 0
1/x · x^n · (n(n - 1)) + 1/x · 1/2 · x^n · n – 1/x · 3/2 · x^n = 0
1/x · x^n · (n(n - 1)+1/2 n – 3/2) = 0
1/x · x^n · (n^2 -n+1/2 n – 3/2) = 0
x^(- 1 + n) · (n^2 -1/2 n – 3/2) = 0

Løyser likninga og får:

n^2 -1/2 n – 3/2 = 0 ˄ 1/x · x^n = 0
n = 3/2 ˄ x^(- 1) · x^n = 0

b) For å illustrere den vidare rekninga vel n = 3/2
Vi set y = u · y_0 = u · x^(3/2) og deriverer ved hjelp av produktregelen:
y = u · x^(3/2)
y ʹ = u ʹ · x^(3/2) + u · 3/2 x^(3/2 -1) = u ʹ · x^(3/2) + u · 3/2 x^(1/2 )
y ʹʹ = u ʹʹ · x^(3/2) + u ʹ · 3/2 x^(1/2 ) + u ʹ · 3/2 x^(1/2 ) + u · 1/2 · 3/2 x^(1/2 -1 ) = x^(3/2) · u ʹʹ + 3x^(1/2 )· u ʹ + u · 3/4 · x^(- 1/2 )

Vi set inn i differensiallikninga og reknar ut:

x · y ʹʹ + 1/2 · y ʹ – 3/2x · y = 0
x · (x^(3/2) · u ʹʹ + 3x^(1/2 )· u ʹ + u · 3/4 · x^(- 1/2 ) ) + 1/2 · (u ʹ · x^(3/2) + u · 3/2 x^(1/2 ) ) – 3/2x · u · x^(3/2) = 0 x · x^(3/(2 )+1) · u ʹʹ + 3x^(1/2+1 )· u ʹ + u · 3/4 · x^(- 1/2+1) + 1/2 · u ʹ · x^(3/2) + 1/2 · u · 3/2 x^(1/2 ) – 3/2x · u · x^(3/2) = 0
x^( 5/2)· u ʹʹ+ 3/2 x^( 1/2) · u + 7/2 x^( 3/2)·u ʹ – 3/2x x^( 3/2) · u = 0
x^( 5/2)· u ʹʹ+ 7/2 x^( 3/2)·u ʹ = 0

Vi set u ʹ = z og set inn i differensiallikning

x^( 5/2)· u ʹʹ+ 7/2 x^( 3/2)·u ʹ = 0
z ʹ · x^( 5/2)/x^( 5/2) + (7/2 x^( 3/2))/x^( 5/2) · z = 0 │: x^( 5/2) … Vi dividerer med x^( 5/2)
z ʹ + 7/2 x^( 3/2 - 5/2) · z = 0
z ʹ + 7/2 x^(- 3/2) · z = 0


Vi finn integrerandefaktor:

e^(∫▒〖2x^( 1/2) 〗 dx) = e^(2 ln⁡|√x| ) = (e^ln⁡|√2| )^2 = |√x|^2 =

Kan nokon hjelpe meg
Har eg gjort det riktig eller?
Kporleis løyser eg den integrerande faktoren?

[josi]

x^(- 1 + n) · (n^2 -1/2 n – 3/2) = 0

Faktoren x^(-1 + n) skal ikke være med i likningen.
Du skal få: n^2 -1/2n -3/2 = 0

Her får du to løsninger: n = 3/2 og n = -1.

Den videre regningen blir lettere ved å velge n = -1, selv om du også kommer frem ved å velge n = 3/2.

Etter litt regning skal du komme frem til:

xu´´+ 7/2u´ = 0

Ved å sette u´= z får vi da:

xz´+ 7/2z = 0 eller z´+ (7/2x)z = 0

Dette skal føre frem til fasit.

[geil]

Kvar har eg gjort feil.
eg får to løysingar og begge to er n = 1,5 (ikkje n = 1,5 og n = -1)

[geil]

Hei!
Når eg brukar abc-formelen på kalkulatoren får to like løysingar, n = 1,5.
Når eg reknar med abc-formelen forhand får eg n = 1,5 og n = -1.
Kvifor får eg det?

[josi]

Hei!
Når eg brukar abc-formelen på kalkulatoren får to like løysingar, n = 1,5.
Når eg reknar med abc-formelen forhand får eg n = 1,5 og n = -1.
Kvifor får eg det?

Kanskje du har laget en innstilling på kalkulatoren slik at den bare gir positive løsninger? A shot in the dark.

[geil]

Ja det må det vere.
Eg har programert den sjølv så.

[geil]

Hei!
Når eg bruke n = 3/2 får eg ikkje fasit svaret, men motsatt
y = A/x + Bx √x medan (n = -1 gir Ax √x + B/x )
og får A = 2 og B = - 4 som gir løysingskurva
y = 2/x – 4x √x
Er dette riktig?

Fann også ut angåande programeringa av abc-formelen,
som du antok hadde eg gløymt og legge inn minus.
(- b - √(b^2 - 4 · A · C))/2

[josi]

Når eg bruke n = 3/2 får eg ikkje fasit svaret, men motsatt
y = A/x + Bx √x medan (n = -1 gir Ax √x + B/x )

y = A/x + Bx √x er det samme svaret som y = Ax √x + B/x .
Det spiller ingen rolle hva du kaller konstantene.