Differensiallikningar
Lagt inn: 19/02-2021 12:07
Hei!
Oppgåve 7.58
a) Løys likninga y ʹʹ + 2yʹ + 2y = 0.
b) Bestemm integrasjonskonstantane slik at y (0) = 1 og y ʹ (0) = 0. Vis at løysinga er
y = e^(- x) · (sin x + cos x)
c) Skriv løysinga på forma
y = R · e^(- x) · sin (x + φ)
d) Finn koordinatane til toppunkt, botnpunkt og vendepunkt nå.
e) Finn fellespunkta med kurvene
y = ± √2 · e^(- x)
f) Vis at kurvene i kvart av desse punkta har felles tangent, og at fellespunkta er vendepunkt.
Skisser grafen.
Denne oppgåve kjem eg ikkje heilt i mål med.
a, b og c er greitt.
Det er d, e og f eg slit med.
Det eg har gjort på d og e har eg vist nedafor er heilt blank på f.
d) Korleis får ein dette uttrykket for y på vendepunkta, korleis
blir dette null når ein set inn verdiar for n.
(- 1)^n · √2 e^(- (π/4 +n · π)
e) Koreleis kjem ein fram til y = ± √2 · e^(- x)
f) Forstår ikkje spørsmålet.
MIN LØYSING
d) Finn koordinatane til toppunkt, botnpunkt og vendepunkt nå.
y ʹ = e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )^( ʹ)
= – e^( – x) · (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) + e^( – x)· (cos〖 x-sin〖 x〗 〗 )
= e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )
y ʹ = 0
e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) = 0
e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) = 0 │: e^( – x)
cos〖 x-sinx 〗 - sin〖 x-cos〖 x〗 〗
– 2 sin x = 0 2x = sin – 1 (0) = 0
2x = 0 + n · 2π
x = 0 + n · 2π/2
x = 0 + n · π ˄ x = π + n · π
Ein funksjon veks visst den deriverte er positiv (+), og avtek visst den deriverte er negativ (–). Dette betyr at når den deriverte skifter forteikn frå pluss til minus, har vi her eit toppunkt og eit botnpunkt når den skifter forteikn frå minus til pluss.
Toppunkt:
y = e^( – (0 + 2 · π)) (sin〖 (0 + 2 · π)+〗 cos〖( 0 + 2 · π)〗 )
= e^( – (0 + 2 · π)) (0+ 1)
= e^( – (0 + 2 · π))
(x = π + 2 · π,e^( - (0 + n · 2π)) )
(0,1) ˅ (2π,0,0019)
Botnpunkt:
y = e^( – (π + 2 · π)) (sin〖(π + 2 · π)+〗 cos〖(π + 2 · π)〗 )
= e^( – (π + 2 · π)) (0-1)
= – e^( – (π + 2 · π))
(x = π + 2 · π,〖- e〗^(- (π+n · 2π)) )
(π,- 0,0432) ˅ (3π,- 0,0001)
y ʹ = –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) + e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 )
y ʹʹ = e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 )-e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )-e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )+e^( – x) (-sin〖 x-cosx 〗 )
= - 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 ) + e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 ) - e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 )
= - 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )
cos x-sin x = 0 cos x ≠ 0
(sin x)/(cos x ) = (cos x)/(cos x )
tan 3x = 1 x = tan – 1 (1) = π/4
x = π/4 + n · π
Vendepunkt:
(π/4 + n · π , (- 1)^n · √2 e^(- (π/4 +n · π))),
(π/4,0), (5π/4,0), (9π/4,0), (13π/4,0)
e) Finn fellespunkta med kurvene
y = ± √2 · e^(- x)
– 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 ) = e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )
–2e^( – x) cos x + 2e^( – x) sin x = e^( – x) cos x – e^( – x) sin x – e^( – x) sin x – e^( – x) cos x
–2e^( – x) cos x + 2e^( – x) sin x = – 2e^( – x) sin x
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x = 0
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x =e^( – x)·〖(sin〗〖 x〗+ cos〖 x)〗
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x =e^( – x)·sinx + e^( – x)·cosx
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x – e^( – x)·sinx – e^( – x)·cosx = 0
–3e^( – x) cos x + 3e^( – x) sin x = 0
3e^( – x) sin x = 3e^( – x) cos x
(〖3e〗^( – x) sin x )/(〖3e〗^( – x) cos x) = (3e^( – x) cos x)/(3e^( – x) cos x)
tan x = 1 x = tan – 1 (1) = π/4
x = π/4 + n · π
y = ± √2 · e^(- ( π/4 + n · π))
f) Vis at kurvene i kvart av desse punkta har felles tangent, og at fellespunkta er vendepunkt.
Skisser grafen.
Oppgåve 7.58
a) Løys likninga y ʹʹ + 2yʹ + 2y = 0.
b) Bestemm integrasjonskonstantane slik at y (0) = 1 og y ʹ (0) = 0. Vis at løysinga er
y = e^(- x) · (sin x + cos x)
c) Skriv løysinga på forma
y = R · e^(- x) · sin (x + φ)
d) Finn koordinatane til toppunkt, botnpunkt og vendepunkt nå.
e) Finn fellespunkta med kurvene
y = ± √2 · e^(- x)
f) Vis at kurvene i kvart av desse punkta har felles tangent, og at fellespunkta er vendepunkt.
Skisser grafen.
Denne oppgåve kjem eg ikkje heilt i mål med.
a, b og c er greitt.
Det er d, e og f eg slit med.
Det eg har gjort på d og e har eg vist nedafor er heilt blank på f.
d) Korleis får ein dette uttrykket for y på vendepunkta, korleis
blir dette null når ein set inn verdiar for n.
(- 1)^n · √2 e^(- (π/4 +n · π)
e) Koreleis kjem ein fram til y = ± √2 · e^(- x)
f) Forstår ikkje spørsmålet.
MIN LØYSING
d) Finn koordinatane til toppunkt, botnpunkt og vendepunkt nå.
y ʹ = e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )^( ʹ)
= – e^( – x) · (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) + e^( – x)· (cos〖 x-sin〖 x〗 〗 )
= e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )
y ʹ = 0
e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) = 0
e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) = 0 │: e^( – x)
cos〖 x-sinx 〗 - sin〖 x-cos〖 x〗 〗
– 2 sin x = 0 2x = sin – 1 (0) = 0
2x = 0 + n · 2π
x = 0 + n · 2π/2
x = 0 + n · π ˄ x = π + n · π
Ein funksjon veks visst den deriverte er positiv (+), og avtek visst den deriverte er negativ (–). Dette betyr at når den deriverte skifter forteikn frå pluss til minus, har vi her eit toppunkt og eit botnpunkt når den skifter forteikn frå minus til pluss.
Toppunkt:
y = e^( – (0 + 2 · π)) (sin〖 (0 + 2 · π)+〗 cos〖( 0 + 2 · π)〗 )
= e^( – (0 + 2 · π)) (0+ 1)
= e^( – (0 + 2 · π))
(x = π + 2 · π,e^( - (0 + n · 2π)) )
(0,1) ˅ (2π,0,0019)
Botnpunkt:
y = e^( – (π + 2 · π)) (sin〖(π + 2 · π)+〗 cos〖(π + 2 · π)〗 )
= e^( – (π + 2 · π)) (0-1)
= – e^( – (π + 2 · π))
(x = π + 2 · π,〖- e〗^(- (π+n · 2π)) )
(π,- 0,0432) ˅ (3π,- 0,0001)
y ʹ = –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 ) + e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 )
y ʹʹ = e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 )-e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )-e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )+e^( – x) (-sin〖 x-cosx 〗 )
= - 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 ) + e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 ) - e^( – x) (sin〖 x+cosx 〗 )
= - 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 )
cos x-sin x = 0 cos x ≠ 0
(sin x)/(cos x ) = (cos x)/(cos x )
tan 3x = 1 x = tan – 1 (1) = π/4
x = π/4 + n · π
Vendepunkt:
(π/4 + n · π , (- 1)^n · √2 e^(- (π/4 +n · π))),
(π/4,0), (5π/4,0), (9π/4,0), (13π/4,0)
e) Finn fellespunkta med kurvene
y = ± √2 · e^(- x)
– 2e^( – x) (cos〖 x-sinx 〗 ) = e^( – x) · (cos〖 x-sinx 〗 ) –e^( – x)· (sin〖 x+cos〖 x〗 〗 )
–2e^( – x) cos x + 2e^( – x) sin x = e^( – x) cos x – e^( – x) sin x – e^( – x) sin x – e^( – x) cos x
–2e^( – x) cos x + 2e^( – x) sin x = – 2e^( – x) sin x
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x = 0
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x =e^( – x)·〖(sin〗〖 x〗+ cos〖 x)〗
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x =e^( – x)·sinx + e^( – x)·cosx
–2e^( – x) cos x + 4e^( – x) sin x – e^( – x)·sinx – e^( – x)·cosx = 0
–3e^( – x) cos x + 3e^( – x) sin x = 0
3e^( – x) sin x = 3e^( – x) cos x
(〖3e〗^( – x) sin x )/(〖3e〗^( – x) cos x) = (3e^( – x) cos x)/(3e^( – x) cos x)
tan x = 1 x = tan – 1 (1) = π/4
x = π/4 + n · π
y = ± √2 · e^(- ( π/4 + n · π))
f) Vis at kurvene i kvart av desse punkta har felles tangent, og at fellespunkta er vendepunkt.
Skisser grafen.