Delvis integrasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Delvis integrasjon

Innlegg ddybing » 07/03-2021 19:22

Heisann!

Jeg har et integral her som jeg forsøker å løse, men som jeg sliter litt med.

[tex]\int e^{2x} cos(2x))[/tex]

Jeg har da tenkt at det er passende å bruke delvis integrasjon her, og setter først opp:
[tex]u' = e^{2x}[/tex], [tex]u = \frac{1}{2}e^{2x}[/tex] og [tex]v = cos(2x)[/tex], [tex]v' = -2sin(2x)[/tex].

Da får jeg [tex]\int e^{2x}cos(2x)=\frac{e^{2x}cos(2x))}{2}-\int -\frac{e^{2x}2sin(2x))}{2}[/tex]



Velger så "ny" u og v: [tex]u = \frac{e^{2x}}{4}[/tex], [tex]u'= \frac{e^{2x}}{2}[/tex] og [tex]v = -2sin(2x)[/tex], [tex]u' = -4cos(2x)[/tex]



Setter nå opp:
[tex]\int e^{2x}cos(2x) = \frac{e^{2x}cos(2x)}{2} - \Big(-\frac{2sin(2x)e^{2x}}{4} - \int -\frac{4e^{2x}cos(2x)}{4}\Big)[/tex]

Ordner fortegn og det blir da:
[tex]\int e^{2x}cos(2x) = \frac{e^{2x}cos(2x)}{2} +\frac{2sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}cos(2x)}{4}[/tex]

Jeg tror jeg har gjort det riktig fram til nå, men jeg er litt usikker? Må jeg gjøre enda en delvis integrasjon, eller er jeg på rett vei?

Etter hva jeg kan se så skal fasiten på denne være: [tex]\frac{e^{2x}sin(2x) + e^{2x}cos(2x)}{4} + C[/tex]
ddybing offline
Noether
Noether
Innlegg: 31
Registrert: 15/05-2019 18:24

Re: Delvis integrasjon

Innlegg ddybing » 07/03-2021 20:34

Nå tror jeg at jeg fant ut av den!

Tror jeg hadde gjort noen feil underveis i utregningen, og var ikke klar over at jeg kunne flytte integralet lengst til høyre (som er likt til det opprinnelig integralet) over, og så dele på to på begge sider for å få integralet. Da skjønner jeg hvorfor nevneren på høyresiden gikk fra 2 til 4.
ddybing offline
Noether
Noether
Innlegg: 31
Registrert: 15/05-2019 18:24

Re: Delvis integrasjon

Innlegg Janhaa » 07/03-2021 20:38

[tex]\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}\cos(2x)}{4}dx[/tex]

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - I[/tex]

[tex]2I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]

[tex]I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]


ps.
der fant du ut av det ja...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8371
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Delvis integrasjon

Innlegg ddybing » 07/03-2021 20:49

Janhaa skrev:[tex]\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - \int \frac{4e^{2x}\cos(2x)}{4}dx[/tex]

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4} - I[/tex]

[tex]2I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{2} +\frac{2\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]

[tex]I= \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4}[/tex]


ps.
der fant du ut av det ja...

Hehe, ja, jeg så ganske tidlig at det var samme integral på høyre siden, men skjønte ikke helt hva jeg skulle gjøre med det - tror ikke jeg har vært borti en slik oppgave før, så tenkte ikke på at det var mulig...

Tusen takk for at du tok deg tid til å skrive løsningsforslag!
ddybing offline
Noether
Noether
Innlegg: 31
Registrert: 15/05-2019 18:24

Re: Delvis integrasjon

Innlegg Janhaa » 08/03-2021 00:05

Så her:

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4} + C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8371
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Delvis integrasjon

Innlegg ddybing » 10/03-2021 21:45

Janhaa skrev:Så her:

[tex]I=\int e^{2x}\cos(2x)dx = \frac{e^{2x}\cos(2x)}{4} +\frac{\sin(2x)e^{2x}}{4} + C[/tex]



Tusen takk! :-)
ddybing offline
Noether
Noether
Innlegg: 31
Registrert: 15/05-2019 18:24

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot] og 24 gjester