dahle-g » 08/04-2021 12:02
Hei!
Takk for super hjelp.
Har løyst oppgåva med delbrøkoppspalting og det fungerte supert
sjå løysinga nedanfor.
Håper dette er godt nok svar på oppgåva.
NIVÅ A:
Vi kontrollerer at formelen for n = 1, det vil seie at:
2/(n · (n + 2)) = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)
2/(1 · (1 + 2)) = 3/2 – 1/(1 + 1) – 1/(1 + 2) ⇒ 2/3 = 3/2 – 1/2 – 1/3 ⇒ 2/3 = 3/3 – 1/3 ⇒ 2/3 = 2/3
Dette er opplagt korrekt ettersom begge side er lik 2/3.
Delbrøkoppspalting:
Vi deler opp brøken i to brøkar:
2/((n + 1) (n + 3)) = A/((n + 1)) + B/((n + 3))
Vi multipliserer med fellesnemnaren (n + 1)(n + 3) på begge sider:
2 = A · (n + 3) + B · (n + 1)
n = – 1 ⇒ 2 = A · (– 1 + 3) + B · (– 1 + 1) ⇒ 2A = 2 ⇒ A = 1
n = – 3 ⇒ 2 = A · (– 3 + 3) + B · (– 3 + 1) ⇒ – 2B = 2 ⇒ B = – 1
2/((n + 1) (n + 3)) = A/((n + 1)) + B/((n + 3)) = 1/((n + 1)) – 1/((n + 3))
NIVÅ B:
Her vel vi å rekne ut dei to sidene kvar for seg og kontrollere at dei blir like.
No går vi ut frå at formelen er korrekt eit naturleg tal n.
Ut frå det skal vi vise at formelen stemmer for n + 1, altså at
Venstre side:
Formelen stemmer for n --------------------------- ↓
⏞(2/(1 · 3) + 2/(2 · 4) + 2/(3 · 5) + ...+ 2/(n · (n + 2))) + 2/((n + 1) (n + 3)) = (3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)) + ( 2/((n + 1) (n + 3)))
= 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2) + (1/((n + 1)) – 1/((n + 3))) (delbrøkoppspalting)
= 3/2 – 1/(n + 2) – 1/((n + 3))
Når vi reknar ut høgre side, multipliserer vi berre ut parentesane:
Høgre side:
3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2) = 3/2 – 1/((n + 1) + 1) – 1/((n + 1) + 2) = 3/2 – 1/(n + 2) – 1/(n + 3)
Vi ser at venstre side er lik høgre side.
Altså har vi vist at formelen stemmer for n + 1.
Konklusjon:
Matematisk induksjon gir at formelen er korrekt for naturlege tal n.