Induksjon

[dahle-g offline]

Oppgåve 6.92 Sigma R2 2015

Vi set

s_n = 2/(1 · 3) + 2/(2 · 4) + 2/(3 · 5) + . . . + 2/(n · (n + 2)), n ≥ 1

a) Vis ved induksjon at

s_n = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)

Sjekkar for n = 1

2/(n · (n + 2)) = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)
2/(1 · (1 + 2)) = 3/2 – 1/(1 + 1) – 1/(1 + 2)
2/3 = 3/2 – 1/2 – 1/3
2/3 = 3/3 – 1/3
2/3 = 2/3
Det stemmer
Sjekke om det også stemmer for n + 1
Her er eg desverre heilt blank.
Korleis kjem eg vidare her

Kan nokon hjelpe

[Aleks855]

Vi vet nå at det finnes en $k$ slik at påstanden stemmer. Det vil si, vi vet det finnes en $k$ slik at $$s_k = \sum_{i=1}^k \frac{2}{i(i+2)} = \frac32 - \frac1{k+1} - \frac1{k+2}$$

Nå ønsker vi å vise at hvis vi bruker likninga over, så får vi også at $$s_{k+1} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{2}{i(i+2)} = \frac32 - \frac1{k+2} - \frac1{k+3}$$

På grunn av det første resultatet ser vi at $$s_{k+1} = \sum_{i=1}^{k+1} \frac{2}{i(i+2)} = \overbrace{\sum_{i=1}^k \frac{2}{i(i+2)}}^{s_k} + \frac2{(k+1)(k+3)} = \color{red}{\overbrace{\frac32 - \frac1{k+1} - \frac1{k+2}}^{s_k} + \frac2{(k+1)(k+3)}}$$

Påstanden er at $s_{k+1} = \frac32 - \frac1{k+2} - \frac1{k+3}$, så jobben er å bruke algebra til å vise at det røde uttrykket ovenfor blir lik sistnevnte.

[dahle-g offline]

Hei!
Har prøvd med å finne fellesnemnar 2(k + 1)(k + 2)(k + 3) men kjem ikkje i boks.
Er det ein anna måte å gjere det på?

[Aleks855]

Jeg har ikke brukt tid på det, men jeg vil påstå at det er rett å sette alt på fellesnevner, faktorisere teller, og stryke like faktorer. Deretter bruke delbrøkoppspalting for å få uttrykket på samme form som i oppgaven.

Mulig det finnes noe raskere, men jeg ser det ikke i farta.

[dahle-g offline]

Hei!
Takk for super hjelp.
Har løyst oppgåva med delbrøkoppspalting og det fungerte supert
sjå løysinga nedanfor.
Håper dette er godt nok svar på oppgåva.

NIVÅ A:
Vi kontrollerer at formelen for n = 1, det vil seie at:

2/(n · (n + 2)) = 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)
2/(1 · (1 + 2)) = 3/2 – 1/(1 + 1) – 1/(1 + 2) ⇒ 2/3 = 3/2 – 1/2 – 1/3 ⇒ 2/3 = 3/3 – 1/3 ⇒ 2/3 = 2/3

Dette er opplagt korrekt ettersom begge side er lik 2/3.

Delbrøkoppspalting:
Vi deler opp brøken i to brøkar:

2/((n + 1) (n + 3)) = A/((n + 1)) + B/((n + 3))

Vi multipliserer med fellesnemnaren (n + 1)(n + 3) på begge sider:

2 = A · (n + 3) + B · (n + 1)

n = – 1 ⇒ 2 = A · (– 1 + 3) + B · (– 1 + 1) ⇒ 2A = 2 ⇒ A = 1
n = – 3 ⇒ 2 = A · (– 3 + 3) + B · (– 3 + 1) ⇒ – 2B = 2 ⇒ B = – 1

2/((n + 1) (n + 3)) = A/((n + 1)) + B/((n + 3)) = 1/((n + 1)) – 1/((n + 3))

NIVÅ B:
Her vel vi å rekne ut dei to sidene kvar for seg og kontrollere at dei blir like.
No går vi ut frå at formelen er korrekt eit naturleg tal n.
Ut frå det skal vi vise at formelen stemmer for n + 1, altså at

Venstre side:
Formelen stemmer for n --------------------------- ↓
⏞(2/(1 · 3) + 2/(2 · 4) + 2/(3 · 5) + ...+ 2/(n · (n + 2))) + 2/((n + 1) (n + 3)) = (3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2)) + ( 2/((n + 1) (n + 3)))
= 3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2) + (1/((n + 1)) – 1/((n + 3))) (delbrøkoppspalting)
= 3/2 – 1/(n + 2) – 1/((n + 3))

Når vi reknar ut høgre side, multipliserer vi berre ut parentesane:

Høgre side:

3/2 – 1/(n + 1) – 1/(n + 2) = 3/2 – 1/((n + 1) + 1) – 1/((n + 1) + 2) = 3/2 – 1/(n + 2) – 1/(n + 3)

Vi ser at venstre side er lik høgre side.
Altså har vi vist at formelen stemmer for n + 1.

Konklusjon:
Matematisk induksjon gir at formelen er korrekt for naturlege tal n.