matematikk.net

OPPGÅVE 6.93 SIGMA R2 2015
Forstår ikkje korleis eg skal løyse denne deloppgåva
Har desverre ikkje knekt koden på framgangsmåten desse kan løysast på.
Kan nokon hjelpe meg?

Ei setning om konvergente rekkjer lyder slik:
«Dersom ei rekkje s_n er veksande og mindre enn eit fast tal k, er rekkja konvergent.»

e) Bruk denne setninga og resultatet framanfor til å forklare at rekkja

3 + 3/(2√2) + 3/(3√3) + 3/(4√4) + . . ., er konvergent.

er det ikke bare å observere at:

[tex]\frac{a_2}{a_1}<\frac{a_3}{a_2}<\frac{a_4}{a_3}<...<\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/tex]

ergo konvergerer rekka

Innfører hjelpefunksjonen
f( x ) = [tex]\frac{3}{x\sqrt{x}}[/tex]

samt talfølgja { s[tex]_{n}[/tex]} = [tex]\frac{3}{1}[/tex] + [tex]\frac{3}{2\sqrt{2}}[/tex]+ .................................. + [tex]\frac{3}{n\sqrt{n}}[/tex]

Talfølgja ovanfor er openbart monotont veksande . I tillegg kan vi vise at dei ( n-1 ) siste ledda i { s[tex]_{n}[/tex] } dannar ein undersum til integralet [tex]\int_{1}^{n}[/tex] f( x ) dx

Konklusjon : Talfølgja {s [tex]_{n}[/tex]} er monotont veksande og samtidig mindre enn 3 + [tex]\int_{1}^{n}[/tex] f( x ) dx. Derav følgjer at lim s[tex]_{n}[/tex]( n [tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) eksisterer ( som skulle visast )