rekkje og konvergens

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
dahle-g
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 02/05-2017 01:17

Hei har ei oppgåve 6.95 Sigma R2 2015.
Her er det mykje som er som eg ikkje forstår og treng hjelp til ?
Kan nokon hjelpe meg her.

Først kjemHer heile oppgåveteksten etter den har eg gjort eit forsøkt meg på
å løyse oppgåva. Sjå nedanfor

Oppgåve 6.95
Vi har gitt

1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n) = 1 – 1/n, ≥ 2

a) Forklar at rekkja

1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n)

Konvergerer, og finn summen

Vi har gitt

S_n = 1/2 + 1/3^2 + . . . + 1/2^n

b) Skriv eit enklare uttrykk for S_n. Bruk dette resultatet til å forklare at rekkja konvergerer. Finn summen

Vi kan også avgjere om ei rekkje konvergerer endå om vi ikkje greier å finne ein formel for summen av dei n første ledda. Somme gonger kan vi avgjere dette ved å samanlikne ei rekkje med ei anna rekkje som vi veit konvergerer. Dette skal vi sjå nærmare på i resten av oppgåva. Vi har rekkja

1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)

Vi skal samanlikne denne rekkja med rekkja i b). Vi set

s_n = 1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1)

c) Forklar s_n > S_n. Vis at s_n < 1.

Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»

d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.

1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)

e) Vis at rekkja

1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .

er konvergent

HER KJEM MITT FORSØK PÅ LØYSING

Oppgåve 6.95
Vi har gitt

1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n) = 1 – 1/n, ≥ 2

a) Forklar at rekkja

1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n)

Konvergerer, og finn summen

Når n → ∞ vil 1/n → 0 vi har då s_n = ■(lim@n→∞) ∑_2^(n )▒〖1 – 1/n〗 = 1 – 0 = 1.

s = 1

S_n = 1/2 + 1/3^2 + . . . + 1/2^n

b) Skriv eit enklare uttrykk for S_n. Bruk dette resultatet til å forklare at rekkja

konvergerer. Finn summen

a_n = 1/2^n = 1^n/2^n = (1/2)^n = (2/2)^n – (1/2)^n = 1 – (1/2)^n = 1 – 1^n/2^n = 1 – 1/2^n

Når n → ∞ vil 1/2^n → 0 vi har då s_n = ■(lim@n→∞) ∑_2^(n )▒〖1 – 1/2^n 〗 = 1 – 0 = 1.

s = 1

Vi kan også avgjere om ei rekkje konvergerer endå om vi ikkje greier å finne ein formel for summen av dei n første ledda. Somme gonger kan vi avgjere dette ved å samanlikne ei rekkje med ei anna rekkje som vi veit konvergerer. Dette skal vi sjå nærmare på i resten av oppgåva. Vi har rekkja

1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)

Vi skal samanlikne denne rekkja med rekkja i b). Vi set

s_n = 1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1)







c) Forklar s_n > S_n. Vis at s_n < 1.

1/(2 + 1) > 1/2, 1/(2^2+ 1) > 1/3^2 , . . . ,1/(2^n + 1) > 1/2^n , s_n > S_n

a_n = 1/2^n og b_n = 1/(2^n + 1)

a_n > 0, b_n > 0 og lim┬(n→∞)⁡〖a_n/b_n 〗 = c < ∞, for då blir a_n < (c +1) b_n når n er stor nok

s_n < 1

Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»

d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.

1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)

HER ER DET BLANKT DESVERRE FOR MEG


e) Vis at rekkja

1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .

er konvergent

HER ER DET DESVERRE BLANKT FOR MEG
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»

d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.

1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)

HER ER DET BLANKT DESVERRE FOR MEG
Legg merke til at rekken (*) bare består av positive ledd. Dersom vi vi kan vise at summen av de $n$ første leddene i rekken er mindre enn et gitt tall, for alle $n$, så følger det av setningen at rekken konvergerer.

Summen av de $n$ første leddene er:

$$
\begin{align}
S_n &= \frac 1{2+1} + \frac 1{2^2 + 1} + \ldots + \frac 1{2^n + 1} \\
&< \frac 12 + \frac 1{2^2} + \ldots + \frac 1{2^n} \\
&< 1
\end{align}
$$

Første overgang får vi ved å sammenligne ledd for ledd: $1/3 < 1/2$, og $1/5 < 1/4$, osv.
Og siste overgang kommer av vi summerer de $n$ første leddene i en geometrisk rekke (som vi allerede vet konvergerer til tallet $1$).

Altså er summen av de $n$ første leddene i rekken (*) mindre enn et gitt tall for alle $n$. Altså vil rekken (*) konvergere i følge setningen.


e) Vis at rekkja

1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .

er konvergent

HER ER DET DESVERRE BLANKT FOR MEG
Her vil vi sammenligne ledd for ledd igjen, ved å bruke rekken i oppgave 6.95 a).

$$ \begin{align}
S_n &= \frac 1{2^2} + \frac 1{3^2} + \ldots + \frac 1{n^2} \\
&< \frac 1{2^2 - 2} + \frac 1{3^2 - 3} + \ldots + \frac 1{n^2 - n} \\
&= 1 - \frac 1n \\
&< 1
\end{align}$$

Altså vil rekken i e) også konvergere i følge setningen.
Svar