Hei har ei oppgåve 6.95 Sigma R2 2015.
Her er det mykje som er som eg ikkje forstår og treng hjelp til ?
Kan nokon hjelpe meg her.
Først kjemHer heile oppgåveteksten etter den har eg gjort eit forsøkt meg på
å løyse oppgåva. Sjå nedanfor
Oppgåve 6.95
Vi har gitt
1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n) = 1 – 1/n, ≥ 2
a) Forklar at rekkja
1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n)
Konvergerer, og finn summen
Vi har gitt
S_n = 1/2 + 1/3^2 + . . . + 1/2^n
b) Skriv eit enklare uttrykk for S_n. Bruk dette resultatet til å forklare at rekkja konvergerer. Finn summen
Vi kan også avgjere om ei rekkje konvergerer endå om vi ikkje greier å finne ein formel for summen av dei n første ledda. Somme gonger kan vi avgjere dette ved å samanlikne ei rekkje med ei anna rekkje som vi veit konvergerer. Dette skal vi sjå nærmare på i resten av oppgåva. Vi har rekkja
1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)
Vi skal samanlikne denne rekkja med rekkja i b). Vi set
s_n = 1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1)
c) Forklar s_n > S_n. Vis at s_n < 1.
Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»
d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.
1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)
e) Vis at rekkja
1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .
er konvergent
HER KJEM MITT FORSØK PÅ LØYSING
Oppgåve 6.95
Vi har gitt
1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n) = 1 – 1/n, ≥ 2
a) Forklar at rekkja
1/(2^2 - 2) + 1/(3^2 - 3) + . . . + 1/(n^2 - n)
Konvergerer, og finn summen
Når n → ∞ vil 1/n → 0 vi har då s_n = ■(lim@n→∞) ∑_2^(n )▒〖1 – 1/n〗 = 1 – 0 = 1.
s = 1
S_n = 1/2 + 1/3^2 + . . . + 1/2^n
b) Skriv eit enklare uttrykk for S_n. Bruk dette resultatet til å forklare at rekkja
konvergerer. Finn summen
a_n = 1/2^n = 1^n/2^n = (1/2)^n = (2/2)^n – (1/2)^n = 1 – (1/2)^n = 1 – 1^n/2^n = 1 – 1/2^n
Når n → ∞ vil 1/2^n → 0 vi har då s_n = ■(lim@n→∞) ∑_2^(n )▒〖1 – 1/2^n 〗 = 1 – 0 = 1.
s = 1
Vi kan også avgjere om ei rekkje konvergerer endå om vi ikkje greier å finne ein formel for summen av dei n første ledda. Somme gonger kan vi avgjere dette ved å samanlikne ei rekkje med ei anna rekkje som vi veit konvergerer. Dette skal vi sjå nærmare på i resten av oppgåva. Vi har rekkja
1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)
Vi skal samanlikne denne rekkja med rekkja i b). Vi set
s_n = 1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1)
c) Forklar s_n > S_n. Vis at s_n < 1.
1/(2 + 1) > 1/2, 1/(2^2+ 1) > 1/3^2 , . . . ,1/(2^n + 1) > 1/2^n , s_n > S_n
a_n = 1/2^n og b_n = 1/(2^n + 1)
a_n > 0, b_n > 0 og lim┬(n→∞)〖a_n/b_n 〗 = c < ∞, for då blir a_n < (c +1) b_n når n er stor nok
s_n < 1
Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»
d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.
1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)
HER ER DET BLANKT DESVERRE FOR MEG
e) Vis at rekkja
1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .
er konvergent
HER ER DET DESVERRE BLANKT FOR MEG
rekkje og konvergens
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Legg merke til at rekken (*) bare består av positive ledd. Dersom vi vi kan vise at summen av de $n$ første leddene i rekken er mindre enn et gitt tall, for alle $n$, så følger det av setningen at rekken konvergerer.Vi har denne setninga om konvergens
«Dersom ei rekkje berre har positive ledd og summen av dei n første ledda er mindre enn eit fast tal for alle n, er rekkja konvergent.»
d) Bruk setninga til å forklare at rekkja (*) er konvergent.
1/(2 + 1) + 1/(2^2+ 1) + . . . + 1/(2^n + 1) . . . (*)
HER ER DET BLANKT DESVERRE FOR MEG
Summen av de $n$ første leddene er:
$$
\begin{align}
S_n &= \frac 1{2+1} + \frac 1{2^2 + 1} + \ldots + \frac 1{2^n + 1} \\
&< \frac 12 + \frac 1{2^2} + \ldots + \frac 1{2^n} \\
&< 1
\end{align}
$$
Første overgang får vi ved å sammenligne ledd for ledd: $1/3 < 1/2$, og $1/5 < 1/4$, osv.
Og siste overgang kommer av vi summerer de $n$ første leddene i en geometrisk rekke (som vi allerede vet konvergerer til tallet $1$).
Altså er summen av de $n$ første leddene i rekken (*) mindre enn et gitt tall for alle $n$. Altså vil rekken (*) konvergere i følge setningen.
Her vil vi sammenligne ledd for ledd igjen, ved å bruke rekken i oppgave 6.95 a).e) Vis at rekkja
1/2^2 + 1/3^2 + . . . + 1/n^2 + . . .
er konvergent
HER ER DET DESVERRE BLANKT FOR MEG
$$ \begin{align}
S_n &= \frac 1{2^2} + \frac 1{3^2} + \ldots + \frac 1{n^2} \\
&< \frac 1{2^2 - 2} + \frac 1{3^2 - 3} + \ldots + \frac 1{n^2 - n} \\
&= 1 - \frac 1n \\
&< 1
\end{align}$$
Altså vil rekken i e) også konvergere i følge setningen.