To spørsmål...
1)En kule har sentrum i origo O. Punktet P (3,0,4) ligger på kula. Finn likningen for det planet som tangerer kula i P.
2)Kurven K er gitt ved likningen
r=cos^2 θ, θ E[0,2π]
Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av kurven K.
Veldig takknemlig for svar:)
[rot][/rot]
Vektor-/polarkoordinater
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
1) Denne kula er gitt ved likningen
0 = F(x,y,z) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - (3[sup]2[/sup] + 0[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup]) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - 25.
Ergo blir grad(F(x,y,z)) = <[part][/part]F/[part][/part]x, [part][/part]F/[part][/part]y, [part][/part]F/[part][/part]z> = <2x, 2y, 2z>. Altså blir grad(F(3,0,4)) = <2*3, 2*0, 2*4> = <6, 0, 8>. Likningen til planet som tangerer kula i punktet (3,0,4) blir dermed
Grad(F(3,0,4)) • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0
<6, 0, 8> • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0
6(x - 3) + 0(y - 0) + 8(z - 4) = 0
3(x - 3) + 4(z - 4) = 0
3x - 9 + 4z - 16 = 0
3x + 4z = 25.
2) Arealet A av området begrenset av kurven K er gitt ved
A = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) r[sup]2[/sup] dθ = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) cos[sup]4[/sup]θ dθ
Formelen cos(2x) = 2cos[sup]2[/sup]x - 1 gir at
(1) cos[sup]2[/sup]x = [1 + cos(2x)] / 2.
Herav følger at
r[sup]2[/sup] = [cosθ[sup]2[/sup]][sup]2[/sup]
= [1 + cos(2θ)][sup]2[/sup] / 4 (Setter x=θ i (1))
= [1 + 2*cos(2θ) + cos[sup]2[/sup](2θ)] / 4
= [1 + 2*cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 ] / 4 (Omforminga av cos[sup]2[/sup](2θ) gjøres ved å sette x=2θ i (1))
= [2 + 4*cos(2θ) + 1 + cos(4θ)] / 8
= [3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ)] / 8
Dermed får vi at
A = (1/8) [itgl][/itgl]_(t=0->2[pi][/pi]) 3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ) dθ
=(1/8)[3t + 2*sin(2θ) + sin(4θ)/4 ]_(t=0>2[pi][/pi])
= (1/8)*3*(2[pi][/pi])
= 3[pi][/pi]/4.
0 = F(x,y,z) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - (3[sup]2[/sup] + 0[sup]2[/sup] + 4[sup]2[/sup]) = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - 25.
Ergo blir grad(F(x,y,z)) = <[part][/part]F/[part][/part]x, [part][/part]F/[part][/part]y, [part][/part]F/[part][/part]z> = <2x, 2y, 2z>. Altså blir grad(F(3,0,4)) = <2*3, 2*0, 2*4> = <6, 0, 8>. Likningen til planet som tangerer kula i punktet (3,0,4) blir dermed
Grad(F(3,0,4)) • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0
<6, 0, 8> • <x - 3, y - 0, z - 4> = 0
6(x - 3) + 0(y - 0) + 8(z - 4) = 0
3(x - 3) + 4(z - 4) = 0
3x - 9 + 4z - 16 = 0
3x + 4z = 25.
2) Arealet A av området begrenset av kurven K er gitt ved
A = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) r[sup]2[/sup] dθ = [itgl][/itgl]_(t=0>2[pi][/pi]) cos[sup]4[/sup]θ dθ
Formelen cos(2x) = 2cos[sup]2[/sup]x - 1 gir at
(1) cos[sup]2[/sup]x = [1 + cos(2x)] / 2.
Herav følger at
r[sup]2[/sup] = [cosθ[sup]2[/sup]][sup]2[/sup]
= [1 + cos(2θ)][sup]2[/sup] / 4 (Setter x=θ i (1))
= [1 + 2*cos(2θ) + cos[sup]2[/sup](2θ)] / 4
= [1 + 2*cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 ] / 4 (Omforminga av cos[sup]2[/sup](2θ) gjøres ved å sette x=2θ i (1))
= [2 + 4*cos(2θ) + 1 + cos(4θ)] / 8
= [3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ)] / 8
Dermed får vi at
A = (1/8) [itgl][/itgl]_(t=0->2[pi][/pi]) 3 + 4*cos(2θ) + cos(4θ) dθ
=(1/8)[3t + 2*sin(2θ) + sin(4θ)/4 ]_(t=0>2[pi][/pi])
= (1/8)*3*(2[pi][/pi])
= 3[pi][/pi]/4.
Nå skal det vel nevnes at dette er VGS-forum, og at gradient[og heller ikke partiell derivert] inngår i pensum.
Oppgave 1 kan gjøres på følgende måte:
Hvis punktet (3,0,4) er på kula og kula ligger i origo, ja da bruker vi [3,0,4] som normalvektor til planet. Vi har nå et punkt og en normalvektor.
bruker formelen
A(X-X_1) + B(Y-Y_1) + C(Z-Z_1) = 3(x-3) + 0 + 4(Z-4) = 3x - 9 + 4z - 16 = 3x + 4z = 25.
Oppgave 1 kan gjøres på følgende måte:
Hvis punktet (3,0,4) er på kula og kula ligger i origo, ja da bruker vi [3,0,4] som normalvektor til planet. Vi har nå et punkt og en normalvektor.
bruker formelen
A(X-X_1) + B(Y-Y_1) + C(Z-Z_1) = 3(x-3) + 0 + 4(Z-4) = 3x - 9 + 4z - 16 = 3x + 4z = 25.