Likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Likning

Innlegg støvmidd » 02/12-2003 20:08

Hvordan finner jeg nullpunktet til dette utrykket ?

-6+x+4x^3
støvmidd offline

Innlegg oro2 » 02/12-2003 20:19

Sett utrykket lik null, og finn x.
oro2 offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 655
Registrert: 23/11-2003 01:47
Bosted: Bergen

Innlegg Gjest » 02/12-2003 21:27

Men denne likningen var litt vrien

-6+x+4x^3 = 0
Gjest offline

Innlegg oro2 » 02/12-2003 21:38

Det finnes generelle formler for å løse tredjegradliginger, men det er ofte lettest å løse de grafisk når uttrykket ikke kan faktoriseres. Se når grafen skjærer x-aksen (y=0). Var oppgaven å løse den algebraisk eller grafisk?

En reel algebraisk løsning er forøvrig:
1/6*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]-1/(2*(162+3*2919[sup]1/2[/sup])[sup]1/3[/sup]) ca lik 1.072020217

finnes også to komplekse
oro2 offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 655
Registrert: 23/11-2003 01:47
Bosted: Bergen

Innlegg PeerGynt » 02/12-2003 22:04

Likningen er på redusert form, er

x[sup]3[/sup] +(1/4)x - (3/2) = 0

En tredjegradslikning som kan skrives på formen
x[sup]3[/sup] +3px + 2q = 0
der p og q er konstanter, har
a) tre reelle loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] < 0
b) tre reelle loesninger der de to minste er like når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] = 0
c) en reell og to konjugert komplekse loesninger når q[sup]2[/sup]+p[sup]3[/sup] >0

Vi kan verifisere at c) er tilfellet her. Du kan sannsynligvis finne formler for å loese likningen i formelsamlingen din. Dersom dette ikke er tilfelle, gi lyd og jeg kan kaskje trylle fran noen.

_
PeerGynt offline
World works; done by its invalids
World works; done by its invalids
Innlegg: 389
Registrert: 25/09-2002 20:50
Bosted: Kristiansand

Innlegg oro2 » 02/12-2003 22:09

PeerGynt skrev:b) tre reelle loesninger der de to minste er like når q^2+p^3 = 0


Skal vel være "der minst to er like" ?
oro2 offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 655
Registrert: 23/11-2003 01:47
Bosted: Bergen

Innlegg PeerGynt » 03/12-2003 18:29

Javisst! - min feil
PeerGynt offline
World works; done by its invalids
World works; done by its invalids
Innlegg: 389
Registrert: 25/09-2002 20:50
Bosted: Kristiansand

Innlegg midd » 30/06-2004 20:50

Hva vil likningen på redusert form si?
At man har "fjernet" andregradsleddet? :?
midd offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 02/12-2003 16:24

Innlegg PeerGynt » 01/07-2004 10:04

Tredjegradslikning på generell form

ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d = 0

kan transformeres til redusert form ved hjelp av x = y - b/(3a), som gir

y[sup]3[/sup] + 3py + 2q = 0

der 3p = -(1/3)(b/a)[sup]2[/sup] + c/a, og 2q = (2/27)(b/a)[sup]3[/sup] - (1/3)(bc/a[sup]2[/sup]) + d/a
PeerGynt offline
World works; done by its invalids
World works; done by its invalids
Innlegg: 389
Registrert: 25/09-2002 20:50
Bosted: Kristiansand

Innlegg midd » 19/07-2004 19:16

Men hvordan fant man substitusjonen x = y - b/(3a) ?

En mulig metode som jeg oppdaget , minner om metoden for å løse andregradslikningen :

A x² + B x + C = 0

Også ønsker man å skrive likningen på formen :

x² + a x + b = 0

Da setter man a = B/A og b = C/A

Dermed har vi :

x² + a x + b = 0

Også må man kvitte seg med det linere leddet i likningen :

Derfor ønsker man å skrive likningen på formen :

(d + x)² + h = 0

Når man regner det ut , blir det slik :

x² + 2dx + d² + h = 0

Dette er et andregradspolynom med samme form som : x² + a x + b = 0

Derfor setter vi :

a = 2d og c = d² + h

Ved å løse de to likningene overfor med hensyn på d oh h ,får vi at :

d = a/2 og h = c - (a/2)²

Ved å sette disse verdiene inn i likningen : (d + x)² + h = 0 , får vi
denne andregradslikningen :

(x + a/2)² + c - (a/2)² = 0

også setter vi :

y = x + a/2 og z = c - (a/2)²

Dermed har vi skrevet andregradslikningen på redusert form :

y² + z = 0

------------------------------------------------------------------------------

Det samme gjelder tredjegradslikningen :

A x³ + B x² + C x + D = 0

Sett : a = B/A og b = C/A og c = D/A

og vi får en likning som er lettere å jobbe med :

x³ + ax² + bx + c = 0

Vi cuberer bionomet : x + d

(x + d)³ = x³ + 3dx² + 3d²x + d³


Ved å sammenligne disse to polynomene ser vi at de har lik form :

x³ + ax² + bx + c = x³ + 3dx² + 3d²x + d³

a = 3d <=> d = a/3


Vi setter d = a/3 inn i : (x + d)³ og får :

(x + a/3)³ = x³ + a x² + (a²/3) x + a³/27


Ved å legge til : (a²/3) x + a³/27 på begge sider i tredjegradslikningen vi skal løse , får vi :

x³ + ax² + bx + c + (a²/3) x + a³/27 = (a²/3) x + a³/27

Nå kan vi skrive tredje gradslikningen litt enklere :

(x + a/3)³ + b x + c = (a²/3) x + a³/27

Legg alt på en side

(x + a/3)³ + (b - (a²/3)) x + c -a³/27 = 0

Men la oss se litt på førstegradsleddet i likningen.

Hvordan klarer man å få : (b - (a²/3))x til å bli (b - (a²/3))(x + a/3) ????

Hvis man klarer det , har man også klart å skrive likningen på redusert form ved å sette : y = x + a/3

------------------------------------------------------------------------------------

Det er et fellestrekk ved metodene for å løse andre og tredjegradslikninger : Binominalutvikling.
Binominal utvikling var i dette tilfellet en del av en metode for å
hjelpe oss til å skrive utrykket på ønsket form.

Hva heter denne metoden??
Sist endret av midd den 23/07-2004 21:16, endret 2 ganger.
midd offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 02/12-2003 16:24

Innlegg midd » 20/07-2004 17:14

Hvordan klarer man å få : (b - (a²/3))x til å bli (b - (a²/3))(x + a/3) ????


Fant nettopp ut. Man legger til (b - (a²/3))(a/3) på begge sider, slik at :

(x + a/3)³ + (b - (a²/3)) x + c -a³/27 + (b - (a²/3))(a/3) = (b - (a²/3))(a/3)

<===>

(x + a/3)³ + (b - (a²/3))(x + a/3) + c -a³/27 - (b - (a²/3))(a/3) = 0

Ser man nærmere på likningen, ser man at dette er en tredjegradslikning på redusert form.

(x + a/3)³ + (b - (a²/3))(x + a/3) + c -a³/27 - (b - (a²/3))(a/3) = 0
midd offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 02/12-2003 16:24

Innlegg midd » 25/07-2004 01:02

Dermed er det bevist at y = x - a/3 er en substitusjon, som fører til en forenkling av tredjegradslikninga.

Eksempeler :

x³ + 3x² - 4x - 1 = 0 på redusert form er : y³ - 7y + 5 = 0
-----------------------------------------------------------------------------
11x³ - 4x² + 7x - 9 = 0 på redusert form er :

y³ + (215/363)y - 26759/35937
-----------------------------------------------------------------------------
124x³ - 63x² - 29x - 121 = 0 på redusert form er :

y³ - (4919/15376)y - 977267/953312
-----------------------------------------------------------------------------


Hva nå?

Ved å fjerne andregradsleddet sitter man med en likning med formen:

x³ + ax + b = 0

Formelen : (u + v)³ = u³ + 3vu² + 3v²u + v³ , er fremdeles til hjelp her.

ved å faktorisere 3uv ut av 3vu² + 3v²u blir det :

(u + v)³ = 3uv(v + u) + (v³ + u³)

ved å sette x = u + v , får man en likning med samme form som likningen som skal løses. Det store sirkusnummeret nå, blir å finne u + v som er løsningen på likningen : x³ + ax + b = 0
midd offline
Noether
Noether
Innlegg: 33
Registrert: 02/12-2003 16:24

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 32 gjester