matematikk.net

I trekant ABC er vinkel A 60 grader, AB = 7 og AC = 6. Koordinatene til A er (-3,0), B ligger på den positive x-aksen og rekkefølgen av hjørnene regner vi mot urviseren. Hva blir koordinatene til B?
Jeg regner AB-vektor, og får x + 3, y-0. Så regner jeg OA + AB, men ender bare opp på x og y igjen. Jeg regner a * b *cos 60, og får 21. Men jeg skjønner ikke hvordan jeg skal tenke her. Det er jo ikke vinkelen jeg er ute etter, men koordinatene til B. Hva er det jeg misforstår? Når det står at AB er 7, betyr det da at AB har lengden 7? (og hvorfor står den da ikke med absoluttverditegn slik det vanligvis gjør når vi snakker om lengde?)

Koordinatene til A er (-3,0)

B ligger på den positive x-aksen

AB = 7

Dette burde være nok til å se at $B = (4, 0)$. Resten av infoen er kanskje tiltenkt en annen deloppgave?

Når det står at AB er 7, betyr det da at AB har lengden 7? (og hvorfor står den da ikke med absoluttverditegn slik det vanligvis gjør når vi snakker om lengde?)

Ja, det er det det betyr. Og her brukes det ikke absoluttverditegn fordi det er underforstått at $AB$ refererer til linjestykket mellom $A$ og $B$, og lengda er den eneste skalare verdien vi assossierer med et linjestykke. Dersom vi hadde betraktet oppgaven med vektorregning, så ville vi definitivt brukt absoluttverditegn for å betegne at for vektoren $\vec{AB}$ så er $|\vec{AB}| = 7$.

B ligger på den positive x-aksen

AB = 7

Dette burde være nok til å se at $B = (4, 0)$. Resten av infoen er kanskje tiltenkt en annen deloppgave?



Mener du at det er så enkelt som at -3 + 7 = 4? Jeg prøvde denne logikken på neste deloppgave, der skal jeg forklare hvorfor koordinatene til C er (0,3 kvadratroten av 3). Men A er -3, AC er 6, og -3 + 6 blir 3. Så det stemmer jo ikke.

Ja, det er så enkelt som at -3+7=4, men bare fordi vi vet at punktene har samme y-verdi. Altså 0. Begge ligger på x-aksen. Det betyr at den eneste differansen mellom dem er i x-komponenten av punktene.

Punktet C har en annen y-verdi enn A og B, som betyr at du eksempelvis kan bruke Pytagoras for å regne avstandene mellom den og de to andre.

Så jeg bruker Pytagoras for å regne lengden av C, da deler jeg ABC i to og kaller midtpunktet D. Katet 1 = 0,5 AB, altså 3.5. Katet 2 = 0,5 AC. Katet 1 opphøyd i andre pluss katet 2 opphøyd i andre, blir 48,25. Kvadratroten av dette blir ca 7. Altså er CD, som er hypotenus =7.
Vektor AB har koordinatene [7,0]. Vektor AD blir 1/2*AB, altså [7/2, 0]. Vektor CD blir [x-7/2, y-0]. Er dette riktig spor?

Det går litt skeis fordi du ser ut til å anta at linja fra C ned på AB deler AB i to like store deler, og det er ikke noe vi kan konkludere fra det oppgaveteksten gir oss.

Altså er CD, som er hypotenus =7.

CD ville uansett ikke vært hypotenusen i noen av trekantene.

Det aller første du burde gjøre i slike oppgaver er å tegne en figur. Min ser slik ut. Den er ikke tegnet eksakt, og det er ikke viktig. Det er bare for å illustrere infoen vi har fått oppgitt, og det hjelper med å se hva vi kan jobbe mot.



Jeg tror den letteste metoden herfra er følgende:

1: Trekk linje ned fra C på AB, og kall det nye punktet D. Det har du gjort, og det er bra.

2: Observer den rettvinklede trekanten ADC og husk at sinus er motstående/hypotenus. Altså har vi $sin(60^\circ) = CD / 6$ som gir $CD = 6\sin(60^\circ) = 3\sqrt3$.

3: Merk nå at linja AB har y-verdi lik 0, som betyr at høyda CD er høyda til C. Altså har vi y-komponenten til C som er $3\sqrt3$.

4: Oppdaterer figuren:



5: Nå gjenstår det å finne x-komponenten til C. Ser du hvordan vi kan takle det?

PS: Jeg tar kveld nå, men vi er nesten i mål. Hvis du står fast på siste rest, så er det sikkert noen som kommer innom før jeg våkner og viser deg det siste steget.

Den er ikke hypotenus nei... det gikk litt for fort i svingene der. Tusen takk for grundige forklaringer, jeg skal prøve å klare resten selv

Å. dette går helt galt. Jeg skjønner bare ikke hvordan jeg skal angripe oppgaven. Jeg har fortsatt delt trekanten i to. Men her (i den høyre delen) har jeg ikke vinkel A som er 60 grader, men en rett vinkel, siden trekanten er delt i to. Da blir BC både hypotenus og motstående katet til den rette vinkelen, og det går ikke. (Aleks555 skriver at jeg ikke kan gå ut fra at linjen fra C deler AB i like store deler, men hvordan kan jeg vite at den skaper to rettvinklede trekanter? En median som deler en trekant, danner jo ikke to rettvinklede trekanter, for eksempel) Og finnes det andre metoder enn å bruke Pytagoras? Problemet mitt er generelt at jeg ofte ikke skjønner intuitivt hvilken metode jeg må bruke, er dette noe som kan trenes opp i noen særlig grad?

Danuta skrev: ↑17/10-2021 02:27(Aleks555 skriver at jeg ikke kan gå ut fra at linjen fra C deler AB i like store deler, men hvordan kan jeg vite at den skaper to rettvinklede trekanter?

Det stemmer at vi ikke kan anta at de to små trekantene er like store. Men det vi KAN si er at linja CD som vi har laget, er trekt slik at den står vinkelrett på AB. Det er ikke en antakelse, men vi sier at "nå trekker vi ei linje som går fra C til linja AB slik at den står vinkelrett på AB". Vi vet ikke nødvendigvis hvordan den deler opp AB, men vi vet at den danner to rettvinklede trekanter, ADC og DBC.

Betrakter du nå trekanten til venstre, så har du en trekant med en 60 graders vinkel, og en 90 graders vinkel. I tillegg har vi hypotenusen AC=6.

Til sammen betyr dette at vi kan finne lengda AD, som er hosliggende katet for vinkel A.

Hvilken formel kan vi bruke som tar i bruk en vinkel, samt hosliggende katet og hypotenus?

Hosliggende/hypotenus= cosinus. Hosliggende katet er AD, hypotenus er AC. Setter det opp som x/6=cos 90, og får 0. Men hva er sammenhengen med dette og med x-koordinaten til C? Dette regnestykket forteller jo bare cos 90.

Ikke cos90 men cos60.

Det vi ønsker å finne er x-komponenten til C. Men vi husker at siden vi trakk linja CD vertikalt, så har de samme x-komponent.

Fra vinkel A har vi at $\cos A = \frac{AD}{AC}$.

Setter vi inn det vi vet, så har vi at $\cos(60^\circ) = \frac{AD}{6}$.

Snur på likninga og får at $AD = 6\cos(60^\circ) = 6\cdot\frac12 = 3$.

Det vil si at punktet D ligger $3$ til høyre for A, og vi vet at x-komponenten til A er -3. Så $D = (0, 0)$.

Siden C har samme x-komponent som D, så får vi at $C = (0, 3\sqrt3)$.

Det gir mening, ja. Tusen takk!

La først nå merke til at tittelen på tråden er "skalarprodukt", så det høres ut som en annen metode var tiltenkt. Det vil si, metoden der vi husker at skalarproduktet mellom to vinkelrette vektorer (for eksempel $\vec{AB}$ og $\vec{CD}$) er null.