Lengde av kurve

[Andreas VK II]

r(t)= [2/3t[sup]3/2[/sup],t] X er mellom 0 og 3

Finn lengden av kurven.


Har prøvd å finne lengden av den deriverte og integrere den fra 0 til 3 men fikk feil svar.

[Solar Plexsus]

Du får at r'(t)=[[rot][/rot]t,1], så buelengden blir

[itgl][/itgl]_(t=0->3) kv.rot(t + 1) dt

= [itgl][/itgl]_(u=1->2) 2u[sup]2[/sup] du

(anvender substitusjonen u=kv.rot(t + 1) som gir du/dt = 1/[2*kv.rot(t + 1)] = 1/(2u))

= [2u[sup]3[/sup]/3]_(u=1->2)

= (2/3)*(2[sup]3[/sup] - 1[sup]3[/sup])

= 14/3.

[Andreas VK II]

Hvorfor er r'(t) [rot]t[/rot]

Jeg tenkte 2/3 t ^ 3/2 = 2/3*3/2 t ^ 3/2 - 1 = t^1\2[rot][/rot]

[Solar Plexsus]

Du har derivert riktig. Husk at [rot][/rot]t = t[sup]1/2[/sup] per definisjon.

[Andreas VK II]

Jeg beklager at jeg må ha det inn med teskje, men jeg sliter litt med å skjønne hva som skjer i selve integreringsprossessen.

Blant annet lurer jeg på hvorfor definisjonsmengden endres.


Dessuten forblir hvordan man organiserer Uer og DUer et mysterium for meg.

[Solar Plexsus]

Substitusjonen u=kv.rot(t + 1) gir du/dt = 1/(2u). Nå har du at integranden kv.rot(t + 1) = u mens dt = 2u du. Dette betyr at

[itgl][/itgl] kv.rot(t + 1) dt
= [itgl][/itgl] u (2u du)
= [itgl][/itgl] 2u[sup]2[/sup] du
= 2u[sup]3[/sup]/3 + C (1)
= 2*(kv.rot(t + 1))[sup]3[/sup]/3 + C (2)

der C er en vilkårlig konstant.

Når du skal regne ut det bestemte integralet [itgl][/itgl]_(t=0->3) kv.rot(t + 1) dt , kan du velge om du vil anvende (1) eller (2). Velger du å anvende (1), må integrasjonsgrensene justeres. Ved innsetting i substitusjonen u = kv.rot(t + 1) finner du at den nedre integrasjonsgrensen t=0 tilsvarer u = kv.rot(0 + 1) = [rot][/rot]1 = 1 mens den øvre integrasjonsgrensen t=3 tilsvarer u = kv.rot(3 + 1) = [rot][/rot]4 = 2. Dermed får vi at

[itgl][/itgl]_(t=0->3) kv.rot(t + 1) dt
= [2u[sup]3[/sup]/3]_(u=1->2)
= 2*2[sup]3[/sup]/3 - 2*1[sup]3[/sup]/3
= 16/3 - 2/3
= 14/3.

Dersom du velger å anvende (2), slipper du å forandre på integrasjonsgrensene. M.a.o. får du at

[itgl][/itgl]_(t=0->3) kv.rot(t + 1) dt
= [2*(kv.rot(t + 1))[sup]3[/sup]/3]_(t=0->3)
= 2*(kv.rot(3+1))[sup]3[/sup]/3 - 2*(kv.rot(0+1))[sup]3[/sup]/3
= (2/3)*[( [rot][/rot]4)[sup]3[/sup] - ([rot][/rot]1)[sup]3[/sup] ]
= (2/3)*( 2[sup]3[/sup] - 1[sup]3[/sup])
= (2/3)*(8 - 1)
= (2/3)*7
= 14/3.