Asymptoter og grenseverdier
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Har jeg skjønt det riktig? Vertikal asymptote er når nevneren blir null for en gitt x-verdi, sånn at vi får et bruddpunkt. Telleren kan ikke samtidig bli null. Hvis vi lar x-verdien nærme seg det tallet som ville gitt null i nevner, for eksempel 2, vil y-verdien vokse mot uendelig og vi får en vertikal asymptote x=2. Horisontal asymptote er når x-verdien blir veldig stor og y-verdien nærmer seg uendelig. Grenseverdier er når både teller og nevner blir null for en gitt x-verdi, men ved å faktorisere og forkorte kan man likevel finne at det eksisterer en grenseverdi. Stemmer dette?
Hei igjen!
Din beskrivelse av vertikale asymptoter ser riktig ut, mens karakteristikken du gir av av horisontale asymptoter, ikke helt treffer.
Horisontale asymptoter angir den endelige y-verdi som en funksjon f(x) eventuelt konvergerer mot når x går mot +/- uendelig.
La $f(x) = \frac{2x^2 +2x +3}{x^2 +4x + 1}$
Vi deler på den høyeste potensen av $x$, her $x^2$ i teller og nevner:$f(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2} +\frac{2x}{x^2} +\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2 }{x^2}+\frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$
$\lim_{x \to +/-\infty} f(x) = \frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 2$
Her blir altså den verdien som brøken konvergerer mot når x går mot uendelig: 2. Så y = 2 er her den horisontale asymptoten.
Merk at ikke alle funksjoner har asymptoter, det være seg vertikale eller horisontale.
Din beskrivelse av vertikale asymptoter ser riktig ut, mens karakteristikken du gir av av horisontale asymptoter, ikke helt treffer.
Horisontale asymptoter angir den endelige y-verdi som en funksjon f(x) eventuelt konvergerer mot når x går mot +/- uendelig.
La $f(x) = \frac{2x^2 +2x +3}{x^2 +4x + 1}$
Vi deler på den høyeste potensen av $x$, her $x^2$ i teller og nevner:$f(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2} +\frac{2x}{x^2} +\frac{3}{x^2}}{\frac{x^2 }{x^2}+\frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$
$\lim_{x \to +/-\infty} f(x) = \frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 2$
Her blir altså den verdien som brøken konvergerer mot når x går mot uendelig: 2. Så y = 2 er her den horisontale asymptoten.
Merk at ikke alle funksjoner har asymptoter, det være seg vertikale eller horisontale.