matematikk.net

Hei!

Jeg sliter med å forstå en oppgave om grenseverdier:



Dette er min løsning:



Fasiten sier at f(x) går mot minus uendelig og at grenseverdien ikke eksisterer. Jeg er enig i at grenseverdien ikke eksisterer fordi den første delen av del delte funksjonen går mot minus uendelig (jeg skrev positiv uendelig men jeg ser at det skal bli negativ uendelig fordi nevneren er negativ i den første delen av funksjonen), men jeg skjønner ikke hvorfor fasiten sier at hele f(x) går mot minus uendelig? Den første delen av den delte funksjonen går mot (minus) uendelig, mens den andre delen går mot 1. Hvorfor sier fasiten da at hele f(x) går mot minus uendelig?

Den "andre delen" av funksjonen er ikke relevant å se på i grensen at $x$ går mot $0$, for den benyttes kun for $x\geq 2$. Det er dermed kun den første delen som er relevant å vurdere grenseverdien for her.

Derimot, om du skulle vurdert grenseverdien når $x$ går mot $2$, måtte du sett på begge delene (grenseverdien fra den ene siden og fra den andre siden av $2$).

Hvorfor sier fasiten da at hele f(x) går mot minus uendelig?

Den andre forskriften, $2^{1 - x} $ for x større eller lik 2, gjelder ikke når x er nær 1.

$f(x)$ er kun én funksjon, bare at den er gitt ved to ulike uttrykk i to ulike definisjonsmengder. Om vi f.eks. skulle regnet ut $f(1)$ ville det vært kun verdien $f(1)=\frac{1}{1-2^1}=\frac{1}{-1}=-1$. Tilsvarende ville verdien $f(4)$ kun vært verdien $f(4)=2^{1-4}-1=2^-3-1=1/8-1$.

Så når vi bestemmer grenseverdien $\lim_{x\rightarrow o^+} f(x)$, og finner at den ikke eksisterer, så gjelder det for hele funksjonen $f(x)$. Det er ikke egentlig to deler av funksjonen, men én funksjon som er gitt med et delt uttrykk.