Programmering - maraton

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Mattebruker skrev: 26/08-2022 07:36Er spent på om mi tolking er korrekt. Kva seier innsendar ?
Hei, det blir nok ikke helt korrekt - det ville vært en korrekt tilnærming dersom vi hadde 8 flervalgsoppgaver med 8 alternativer hver. Det blir ikke tilfellet her, siden vi har totalt 8 alternativer som skal kobles korrekt til 8 figurer - og det er kun ett alternativ som passer til hver figur (mulig jeg ikke var tydelig nok på det i spørsmålet). Da blir det ikke lenger en binomisk situasjon, siden la oss si at man har koblet figur 1 til alternativ A, så har man ikke lenger 8 alternativer man kan bruke til neste figur - men kun 7! Osv. nedover.

Vi kan bryte ned problemet til den svært enkle situasjon at vi har kun to figurer, og to alternativer. La oss si at 1-A og 2-B er den korrekte koblingen. Mulige gjett er:

0 riktige: 1-B og 2-A
1 riktig: Går ikke! (Siden dersom man kobler den første figuren til rett alternativ, må nødvendigvis neste kobling også bli korrekt, siden det kun er ett alternativ igjen, som er den korrekte. Og da har man to rette, ikke 1)
2 riktige: 1-A og 2-B

Det gir dermed sannsynlighetene $50\%$ for 0 rett, $0\%$ for 1 rett og $50\%$ for 2 rette. Mens en binomisk situasjon ville gitt $25\%$, $50\%$, $25\%$.

Jeg må ærlig innrømme at jeg ikke vet hvordan man regner ut sannsynlighetene i mitt problem analytisk - men det er iallefal mulig å finne dem tilnærmet ved f.eks. simulering. Men gjerne forsøk å finne en analytisk løsning også!
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Sannsynligheten for at eksakt $0\le n\le 8 $ av figurene er koblet riktig er ${8\choose n}\cdot \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{7}...\frac{1}{9-n}\cdot \frac{!(8-n)}{(8-n)!}={8\choose n}\cdot \frac{!(8-n)}{8!}$, hvor $!k=k!\sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i}{i!}$ gir antall permutasjoner av $k$ elementer med $0$ fikspunkt, dermed er $\frac{!k}{k!}$ sannsynligheten for at en vilkårlig permutasjon av $k$ elementer har $0$ fikspunkt (ingen figurer er koblet rett). (https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement)

Kode: Velg alt

import operator as op
import math
from functools import reduce
 
def ncr(n, r): # binomial coefficient
    r = min(r, n-r)
    numer = reduce(op.mul, range(n, n-r, -1), 1)
    denom = reduce(op.mul, range(1, r+1), 1)
    return numer / denom  

def subfactorial(n):
    t=0
    for k in range(n+1): t += ((-1.)**k)/math.factorial(k)
    return math.factorial(n)*t

for k in range(9): print ncr(8,k)*subfactorial(8-k)/math.factorial(8)
Output:

Kode: Velg alt

0.367881944444
0.367857142857
0.184027777778
0.0611111111111
0.015625
0.00277777777778
0.000694444444444
0
2.48015873016e-05
Svar