Hjelp med oppgave

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
gundersen215
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 18/09-2022 18:01

Hei! Jeg sliter med en oppgave i matematikk R1 fra boken Sinus R1 2018 utgaven. Oppgave 3.11 c, på bilde.
Legger ved bilde av oppgaven. I følge boken har f(x) en asympote i x=a dersom nevner er null i x=a og teller IKKE er det. Dette stemmer overens med alle oppgaver bortsett fra denne, her blir telleren 0, men allikevel er x=-1 en asymptote. Hvordan kan jeg da egentlig være sikker på at x=a faktisk er en asymptote? Dritt dårlig bok:(
Vedlegg
0FD5D776-11AA-40BD-A13F-1D1074C6E1E2.jpeg
0FD5D776-11AA-40BD-A13F-1D1074C6E1E2.jpeg (1.96 MiB) Vist 938 ganger
4BC77396-6562-489B-8ECB-6C67D5963CB6.jpeg
4BC77396-6562-489B-8ECB-6C67D5963CB6.jpeg (1.98 MiB) Vist 938 ganger
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Hei, formuleringen der var nok litt uheldig, ja. Se heller på den første formuleringen: "En funksjon $f$ har en vertikal asymptote $x=a$ dersom $f(x)\rightarrow \pm \infty$ når $x\rightarrow a$".

Dermed kan vi vurdere $\lim_{x\rightarrow -1} f(x) = \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2x+2}{x^2 + 2x + 1}$, og se om denne vil gå mot $\pm \infty$. Noen den vil gjøre, i dette tilfellet.

Når det gjelder den andre formuleringen i boken, så vil det alltid gjelde at dersom nevner går mot $0$ og teller ikke går mot $0$ så har vi en vertikal asymptote. Men som vi ser her så er ikke det hele historien. Vi kan altså ha en vertikal asymptote likevel, selv om både teller og nevner går mot $0$ - men da må vi vurdere grenseverdien som vist over.
gundersen215
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 18/09-2022 18:01

Hei!! Tusen takk for et så bra svar, tar opp R1 som privatist uten anna enn boka til hjelp!😅 Hvordan regner jeg ut at grenseverdien går mot uendelig? Jeg får 0, når jeg regner ut grenseverdien for oppgaven, betyr det da at den går mot uendelig? Og når vet jeg at jeg burde sjekke grenseverdien? Må ikke jeg da gjøre det for hver oppgave der telleren og nevneren begge er 0, for x=a?
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

gundersen215 skrev: 18/09-2022 20:20Hvordan regner jeg ut at grenseverdien går mot uendelig? Jeg får 0, når jeg regner ut grenseverdien for oppgaven, betyr det da at den går mot uendelig? Og når vet jeg at jeg burde sjekke grenseverdien? Må ikke jeg da gjøre det for hver oppgave der telleren og nevneren begge er 0, for x=a?
Vi kan vurdere grenseverdien på flere måter, men siden vi får et "0/0-uttrykk" så kan vi f.eks. forsøke å se om vi kan faktorisere teller/nevner og deretter forkorte brøken:

$\lim_{x\rightarrow -1} \frac{2x+2}{x^2+2x+1} = \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2(x+1)}{(x+1)(x+1)} = \lim_{x\rightarrow -1} \frac{2}{(x+1)}$

Det uttrykket vi ender opp med her, går mot $\pm \infty$, siden nevner går mot $0$ uten at teller gjør det. Og da vil det opprinnelige uttrykket også gå mot $\pm \infty$.

Når det gjelder når du bør sjekke grenseverdien, så er det egentlig som du sier ja - for hver oppgave dere vi får et "0/0"-uttrykk. For disse kan ha en definert grenseverdi, eller de kan gå mot uendelig og dermed være asymptoter.
gundersen215
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 6
Registrert: 18/09-2022 18:01

Jaa okei! Nå skjønner jeg! Jeg har ikke sett på teller og nevner separat for grenseverdien, men regnet bare ut den og fikk da 0 og hengte meg opp i den! Igjen tusen takk for hjelpa!!!😊
Svar