matematikk.net

Hei, sitter foreløpig fast med en oppgave ang det å finne en funksjon med ettpunktsformelen.
Selve det å finne funksjonen er vel forsåvidt greit, men i denne oppgaven så er Punkt 1 = (-(3/2), 2) a= -(2/5) (se vedlegg for bilde av oppgaven 4.2.1 C)
Skjønner ikke helt hvordan forfatteren utfører operasjonene i løsningsforslaget (se bilde Oppgave 4.2.1 Har noen mulighet for å forklare dette trinn for trinn? Takk for svar.
Dette gjelder oppgave 4.2.1 C) (Se vedlegg)

Ok, så vi har en rett linje som går gjennom $\biggl(-\frac{3}{2},2\biggr)$ og har stigningstall $a=-\frac{2}{5}$.

Løsningsforslaget ditt bruker da ettpunktsformelen, $y-y_1 = a(x-x_1)$, der $(x_1, y_1)$ er punktet vi har fått oppgitt.

Setter inn og får:

$y-2 = -\frac{2}{5}\biggl(x-\bigl(-\frac{3}{2}\bigr)\biggr)$

Som gir, ved bytte av fortegn når vi løser opp den ene parentesen:
$y-2 = -\frac{2}{5}\biggl(x+\frac{3}{2}\biggr)$

Ganger ut, og får:
$y-2 = -\frac{2}{5}\cdot x-\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}$

Som gir:
$y-2 = -\frac{2}{5} x-\frac{6}{10}$

Hvor den siste brøken kan forkortes så vi får:
$y-2 = -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$

Så gjør de om $2$ til en brøk med femdeler, så vi senere kan legge sammen brøkene:
$y-\frac{10}{5} = -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$

Flytter over:
$y= -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}+\frac{10}{5}$

Legger sammen siste to leddene, og får til slutt:
$y= -\frac{2}{5} x+\frac{7}{5}$

Finne lineær funksjon når koordinatene til et punkt og stigningstallet er gitt.
La koordinatene til punktet være ($x_1, y_1$) og stigningstallet $a$.
Da har vi $ \frac{y - y_1}{x - x_1} = a$. For et fritt valgt punkt $(x,y)$, vil forholdet mellom differansen $y - y_1$ og differansen $x - x_1$ være konstant $ = a$. Ved innsetting av $(x,y) = (2,-\frac{3}{2}), \,$og $\, a = -\frac{2}{5}$ fås: $\frac{y -2}{x -(-\frac{3}{2})} = -\frac{2}{5}$. Vi kryssmultipliserer:
$(y - 2) * (-5) = 2 * ( x + \frac{3}{2}) => -5y + 10 = 2x + 3 => y = -\frac{2}{5}x + \frac{7}{5}$

Kan jo like gjerne vise enda en metode også, når vi først er igang - jeg personlig liker denne bedre enn ettpunktsformelen og andre varianter, siden det kun bruker funksjonsuttrykket (og dermed kan tilsvarende tankegang brukes i andre typer funksjonsuttrykk også):

En lineær funksjon er gitt på formen $y=ax+b$. Vi vet at $a = -\frac{2}{5}$, dermed har vi

$y=-\frac{2}{5}x+b$

For å bestemme konstantleddet $b$, kan vi bruke at vi vet at linjen går gjennom punktet $(x, y) = \biggl(-\frac{3}{2}, 2\biggr)$. Setter derfor inn dette i stedet for $x$ og $y$ i uttrykket, og får:

$2 = -\frac{2}{5}\cdot\biggl(-\frac{3}{2}\biggr) +b$

Som gir

$2 = \frac{3}{5}+b$

Løser for $b$, som gir

$b = 2 - \frac{3}{5} = \frac{10}{5}- \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$

Og dermed har vi funnet uttrykket vårt:

$y=ax+b=-\frac{2}{5}x+ \frac{7}{5}$