Finne funksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
eskils1111
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 04/10-2022 15:55

Hei, sitter foreløpig fast med en oppgave ang det å finne en funksjon med ettpunktsformelen.
Selve det å finne funksjonen er vel forsåvidt greit, men i denne oppgaven så er Punkt 1 = (-(3/2), 2) a= -(2/5) (se vedlegg for bilde av oppgaven 4.2.1 C)
Skjønner ikke helt hvordan forfatteren utfører operasjonene i løsningsforslaget (se bilde Oppgave 4.2.1 Har noen mulighet for å forklare dette trinn for trinn? Takk for svar.
Dette gjelder oppgave 4.2.1 C) (Se vedlegg)
Oppgave
Oppgave
Oppgave matte.jpeg (4.1 MiB) Vist 799 ganger
Løsningsforslag
Løsningsforslag
Løsningsforslag 1.jpeg (3.56 MiB) Vist 799 ganger
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Ok, så vi har en rett linje som går gjennom $\biggl(-\frac{3}{2},2\biggr)$ og har stigningstall $a=-\frac{2}{5}$.

Løsningsforslaget ditt bruker da ettpunktsformelen, $y-y_1 = a(x-x_1)$, der $(x_1, y_1)$ er punktet vi har fått oppgitt.

Setter inn og får:

$y-2 = -\frac{2}{5}\biggl(x-\bigl(-\frac{3}{2}\bigr)\biggr)$

Som gir, ved bytte av fortegn når vi løser opp den ene parentesen:
$y-2 = -\frac{2}{5}\biggl(x+\frac{3}{2}\biggr)$

Ganger ut, og får:
$y-2 = -\frac{2}{5}\cdot x-\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}$

Som gir:
$y-2 = -\frac{2}{5} x-\frac{6}{10}$

Hvor den siste brøken kan forkortes så vi får:
$y-2 = -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$

Så gjør de om $2$ til en brøk med femdeler, så vi senere kan legge sammen brøkene:
$y-\frac{10}{5} = -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$

Flytter over:
$y= -\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}+\frac{10}{5}$

Legger sammen siste to leddene, og får til slutt:
$y= -\frac{2}{5} x+\frac{7}{5}$
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Finne lineær funksjon når koordinatene til et punkt og stigningstallet er gitt.
La koordinatene til punktet være ($x_1, y_1$) og stigningstallet $a$.
Da har vi $ \frac{y - y_1}{x - x_1} = a$. For et fritt valgt punkt $(x,y)$, vil forholdet mellom differansen $y - y_1$ og differansen $x - x_1$ være konstant $ = a$. Ved innsetting av $(x,y) = (2,-\frac{3}{2}), \,$og $\, a = -\frac{2}{5}$ fås: $\frac{y -2}{x -(-\frac{3}{2})} = -\frac{2}{5}$. Vi kryssmultipliserer:
$(y - 2) * (-5) = 2 * ( x + \frac{3}{2}) => -5y + 10 = 2x + 3 => y = -\frac{2}{5}x + \frac{7}{5}$
SveinR
Abel
Abel
Innlegg: 635
Registrert: 22/05-2018 22:12

Kan jo like gjerne vise enda en metode også, når vi først er igang - jeg personlig liker denne bedre enn ettpunktsformelen og andre varianter, siden det kun bruker funksjonsuttrykket (og dermed kan tilsvarende tankegang brukes i andre typer funksjonsuttrykk også):

En lineær funksjon er gitt på formen $y=ax+b$. Vi vet at $a = -\frac{2}{5}$, dermed har vi

$y=-\frac{2}{5}x+b$

For å bestemme konstantleddet $b$, kan vi bruke at vi vet at linjen går gjennom punktet $(x, y) = \biggl(-\frac{3}{2}, 2\biggr)$. Setter derfor inn dette i stedet for $x$ og $y$ i uttrykket, og får:

$2 = -\frac{2}{5}\cdot\biggl(-\frac{3}{2}\biggr) +b$

Som gir

$2 = \frac{3}{5}+b$

Løser for $b$, som gir

$b = 2 - \frac{3}{5} = \frac{10}{5}- \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$

Og dermed har vi funnet uttrykket vårt:

$y=ax+b=-\frac{2}{5}x+ \frac{7}{5}$
Svar