matematikk.net

Klødd meg i hodet et par dager nå.

Hvordan konstruere en vinkel på 78,2 [sup]o[/sup] ?

Mulig jeg leser oppgaven feil og at det er meningen man skal bruke gradskive, men å bruke den er ikke det samme som å konstruere, eller hur ?

En vinkel på 78,2[sup]o[/sup] er ikke konstruerbar.

Bevis: Anta at denne vinkelen er konstruerbar. Da vil følgende sekvens av vinkler være konstruerbare:

v[sub]1[/sub] = 90[sup]o[/sup] - 78,2[sup]o[/sup] = 11,8[sup]o[/sup]
v[sub]2[/sub] = 78,2[sup]o[/sup] - 75[sup]o[/sup] = 3,2[sup]o[/sup]
v[sub]3[/sub] = 4v[sub]2[/sub] = 4*3,2[sup]o[/sup] = 12,8[sup]o[/sup]
v[sub]4[/sub] = v[sub]3[/sub] - v[sub]1[/sub] = 12,8[sup]o[/sup] - 11,8[sup]o[/sup] = 1[sup]o[/sup]
v[sub]5[/sub] = 20v[sub]4[/sub] = 20*1[sup]o[/sup] = 20[sup]o[/sup].

Altså vil en 20[sup]o[/sup] vinkel være konstruerbar, som igjen vil si at en vinkel på 60[sup]o[/sup] kan tredeles, hvilket er umulig.

Jeg likte beviset ditt, selv om jeg ikke har tilgang til kilder som kan bekrefte eller utdype det du skriver.

Vill du bruke samme sekvens for enhver vinkel ?

Det virker intuitivt riktig at tredeling er umulig, men hvordan bevises det?

Mange takk.

* Dette er ikke en fremgangsmåte som kan brukes til å bevise at en gitt vinkel ikke er konstruerbar.

* Når det gjelder tredelingen av en 60[sup]o[/sup] vinkel, er dette nært knyttet til en av de tre klassiske problemene i antikkens geometri, nemlig vinkelens tredeling (de to andre problemene er for øvrig sirkelens kvadratur og kubens fordobling). Spørsmålet er om en vilkårlig vinkel kan deles i tre like store deler vha. av passer og (umerket) linjal. En vinkel på 67,5[sup]o[/sup] lar seg f.eks. dele i tre vinkler på 22,5[sup]o[/sup] hver.
Derimot kan ikke en vinkel på 60[sup]o[/sup] tredeles. Dette forutsetter nemlig at en vinkel på 20[sup]o[/sup] kan konstrueres, noe som bare er mulig dersom tallet cos20[sup]o[/sup] = x kan konstrueres. Vha. av den trigonometriske formelen cos3y = 4cos[sup]3[/sup]y - 3cosy med y = 20[sup]o[/sup], får vi at x = cosy og

4x[sup]3[/sup] - 3x = cos(60[sup]o[/sup])
4x[sup]3[/sup] - 3x = 1/2
(1) 8x[sup]3[/sup] - 6x - 1 = 0.

En (kjent?) setning innenfor algebraen sier at dersom en tredjegradslikning ikke har noen rasjonale løsninger, er ingen av løsningene konstruerbare (Dette er ganske avansert matematikk som bl. a. omhandler algebraiske begrep som kropp og kroppsutvidelse). Vha. av tredjegradslikningen (1) er det relativt enkelt å bevise at x = cos20[sup]o[/sup] ikke er et rasjonalt tall. Dermed følger det av nevnte setning at cos20[sup]o[/sup] ikke er et konstruerbart tall. M.a.o. kan ikke en vinkel på 60[sup]o[/sup] tredeles.

Takk skal du ha, fikk litt å tenke på der. Langt over hodet på meg foreløpig, men jeg skjønner jeg må inn på origami for å tredele vilkårlige vinkler.

Huzita-Hatori er lagt til på listen over aksiomforfattere av interesse.