matematikk.net

Oppgave 4.212 Cosinus R2 s. 53

En firkantet pyramide ABCDT har en kvadratiske grunnflate ABCD med sidelengden
.
Normalen fra toppunktet T ned på grunnlaten treffer grunnflaten i punktet E, som ligger midt på sidekanten AD. Lengden TE er
.
Pyramiden ABCDT plasserer vi i et koordinatsystem med grunnflaten ABCD i xy-planet. Hjørnet D får koordinatene (0,4,0), mens hjørnene A og B får koordinatene (4,0,0) og (8,4,0).

a) Forklar at hjørnet C får koordinatene (4,8,0)

b) Vis at koordinatene til T er (2,2,4√2)

Siden hjørnene i grunnflaten til pyramiden ABCDT ligger i xy-planet, vil z-koordinaten til hvert av hjørnene A,B,C og D være lik null. Å finne x- og y- koordinatene til disse hjørnene gjøres lettest ved betrakte pyramiden rett ovenfra og så plotte inn punktene A(4,0,0), B(8,4,0) og C(4,8,0) i x,y -koordinat systemet. Da ser du lett ut fra symmetrien at hjørnet C nettopp må ha kordinatene (4,8,0) og at hjørnet D har koordinatene (?,?,0).

nettopp , Dette har jeg gjort ved å sette Vektor DC = Vektor AB
Da fikk jeg svaret. Jeg er på b) eg viet kje kossen eg kan gå videre ?

Jeg går ut fra at oppgaveteksten oppgir at lengden $TE = 4\sqrt{2}$. Hvis du har tegnet inn koordinatene til hjørnene A, B og C i xy -diagrammet, ser du ut fra symmetrien i figuren at koordinatene til D = (0,4,0), og koordinatene til E, siden punktet ligger midt på AD, er (2,2,0). Da må koordinatene til T være (2, 2, 4$\sqrt{2}$).

fatte kje, gjerne praktisk løsning ?

Har du tegnet opp kvadratet ABCD i xy-systemet?

ja, d har eg gjort

Trekk én rett linje fra punktet E midt på AD parallell med x-aksen og én linje parallell med y-aksen. Da se du at avstanden fra E til begge aksene må være 2, altså må punktet E ha koordinatene (2,2,0) og T som står loddrett over E, må ha koordinatene (2,2,4$\sqrt2$).

tusen takk , nå fikk eg svaret riktig

Punktene A(2,1,0) B(2,4,0) er gitt. Finn kordinatene til et punkt C i yz- planet slik at ABC blir likesidet. Fasit: (0,5/2, + - (SQRT 11)/2). hjelp punktet C(0,y,z) kossen man kan finne de to koordinatnene

$\vec{AB} = [2,4,0] - [2,1,0] = [0,3,0], \,|\vec{AB}| = 3$

$\vec{AB} $ er parallell med y-aksen

Normalen fra C ned på linjestykket AB treffer AB i E.$ \,\,AE + 1 = OC = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$, hvor O er origo.

AB = AC = 3, $\vec{AC} = [0,\frac{5}{2},x], -[2,1,0] = [-2, \frac{3}{2},x],\,\, |\vec{AC}| = 3,\,\, 4 + \frac{9}{4} + x^2 = 3^2$