Finne funksjon til ukjent polynom

[LunarHuldra]

Hei!
Fått en oppgave der Funskjonen f har to nullpunkt, x=2 og x=5, Den har også bunnpunkt i (3, -4)

Funksjonen g er gitt ved g(x)=-4*f(x+5)

Oppgavene spør om funskjonen g sine nullpunkt og om grafen vil ha bunnpunkt eller topppunkt.
Derimot kommer jeg ikke så langt i oppgaven. Jeg klarer ikke å finne funksjonsutrykket til f engang.

Jeg trodde jeg kunne bruke:
a(x-2)(x-5)
for å så sette inn bunnpunktet -4=a(3-2)(3-5) gir a = 2
Setter den inn i a(x-2)(x-5) og får 2x^2-14x+20
Denne ser veldig fin ut, men treffer ikke bunnpunktet rett. Derfor tror jeg at denne grafen er en tredjegradspolynom fordi symmtrilinjen ikker er perfekt mellom nullpunktene.

Jeg prøvde også kjapt å øke grafen opp med at jeg skulle finne hvis bunnpunkt var nullpunkt men fikk kun a til å bli et utrolig høyt tall da så det tror jeg var et blindspor, kan noen hjelpe meg litt på rett spor? Fått beskjed at vi ikke kan løse i geogebra eller med derivasjon

[Mattebruker]

God morgen ! Her presenterer innsendar ei oppgave som fangar interessa.
Du skriv at funksjonen f har to nullpunkt: x = 2 og x = 5 . Sidan b.p. ligg på ( 3 , -4 ) kan ikkje dette vere ein andregradsfunksjon ( hugs at ekstremalpunktet til denne
funksjonen ligg midt mellom nullpunkta. Prøver med tredjegradsfunksjonen f( x ) = a (x - 2)[tex]^{2}[/tex]( x - 5 ) eller f( x ) = a (x - 2)( x - 5)[tex]^{2}[/tex].
Da ser vi relativt lett at funksjonen

f( x ) = -1 ( x -2 ) ( x - 5 )[tex]^{2}[/tex]

møter kravet i oppgaveteksta.

g( x ) = 4 f( x + 5 ) = 4 ( x + 5 - 2 )( x + 5 - 5 )^2 = 4 ( x + 3) x[tex]^{2}[/tex]


g( x ) = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex]x = -3 eller x = 0

Funksjonen g har openbart eit b.p. for x = 0( to samanfallande nullpunkt )
Same funksjonen får dermed eit t.p. mellom -3 og 0
Må også kunne legge til at problemet , slik det er formulert i oppgaveteksta , ikkje har ei eintydig løysing.

[jos]

Så vidt jeg kan se ber ikke oppgaveteksten om en identifisering av f(x) og dermed g(x). Den spør om når g(x) = - 4 * f(x + 5) har nullpunkter når f(x) = 0 for x = 2, eller x = 5 og om g(x) har et maksimumspunkt eller minimumspunkt når x = -3. f(x + 5) = f(2) = 0 for x = -3, og f(x + 5) = f(5) = 0 for x = 0. g(x) har altså nullpunker for x = -3 og x = 0. f(x) har minimum for x = 3. Siden g(x) = - 4 * f(x + 5), vil g(x) ha et ekstrempunkt for x = -2. Dette punktet vil være et maksimumspunkt siden minustegnet i g(x ) = - 4 * f(x + 5) gjør at g(x) har et maksimum når f(x) har et minimum.

[Mattebruker]

Hallo ! Einig i at Josi si tolking samsvarar med dei føresetnadene som er gitt i oppgaveteksta. Ut frå dei oppl. som ligg føre kan moderfunksjonen
f skrivast på forma

f( x ) = a[tex]\cdot[/tex]( x - 2 )[tex]^{p}[/tex]( x - 5 )[tex]^{q}[/tex] der p , q [tex]\in[/tex] N [tex]\wedge[/tex] p + q [tex]>[/tex] 2

Set at vi flytter grafen til f 5 einingar i negativ x-retning. Da får vi grafen til ein ny funksjon h , der

h( x ) = f( x - ( -5 ) ) = f( x + 5 ) = a[tex]\cdot[/tex]( x + 5 - 2 )[tex]^{p}[/tex][tex]\cdot[/tex]( x + 5 - 5 )[tex]^{q}[/tex] = a ( x + 3 )[tex]^{p}[/tex]x[tex]^{q}[/tex]. Funksjonen g er gitt ved

g( x ) = -4[tex]\cdot[/tex] h( x ) = -4a ( x + 3 )[tex]^{p}[/tex][tex]\cdot[/tex]x[tex]^{q}[/tex]

Nullpunkt: -3 og 0

B.p. (3 , -4 ) på grafen til f inn vi att i b.p. ( 3 - 5 , -4 ) = ( -2 , -4 ) på grafen til h. Når vi " forstørrar" grafen til h 4x og speglar bildet om x-aksen , får vi
t.p. ( -2 , 16 ) på grafen til g. På den måten får vi løyst problemet utan derivasjon og utan å bestemme eksponentane p og q i funksjonsuttrykket f( x ).
Meiner at denne løysinga møter dei oppl. og dei krava som er gitt i oppg. teksta.
Må gjerne kome med kommentar/innvending du som les dette innlegget.

PS Oppgavekeksta har ei litt uklar formulering :........og avgjør om grafen til g har bunnpunkt eller toppunkt For at problemet skal bli eintydig , burde
det vore presisert at ein her siktar til området mellom nullpunkta.

[jos]

Dette er utmerket fra Mattebruker, men jeg lurer fremdeles på om vi er tvunget til å finne et polynom. "Finne funksjon til ukjent polynom" er en overskrift som første innsender "LunarHuldra" opererer med, og det er uklart om dette er en overskrift for den opprinnelige oppgaveteksten. En ikkepolynomisk utgave av f(x) er f.eks. $f(x) = -4x +8\, $for $ x \leq 3, 2x - 10$ ellers.

[Mattebruker]

Takk for innspel. Kva seier LunarHuldra ?

[LunarHuldra]

Tusen tusen takk for mange gode inspill!
Prøvde meg litt frem med de forskjellige, men tittelen var det jeg som ga den. Oppgaven hadde ikke tittel, men det er det vi har jobbet med. Tror kanskje det Jos nevnte var at ved å bare vri å vende på den så kan jeg "teste" meg litt frem? så brukte jeg det du skrev matteburker for ås e om det kunne stemme og fikk at hvis jeg kombinerte de to så kan det vikre som jeg kom frem til noe smart ? Da har jeg nå topppunkt istedenfor bunnpunkt og to nullpunkter enda