[tex]\int 1/\sqrt{x^2+1}[/tex]
integral
integral hjelp
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
eirikueland
- Cayley
- Innlegg: 76
- Registrert: 17/11-2022 14:35
hei, det eg har gjort men , vil gjerne ha hjelp vedrørende integral metode av sånne kvadratroten .
-
eirikueland
- Cayley
- Innlegg: 76
- Registrert: 17/11-2022 14:35
sorry ikkje helt med liksom , eg satt u=tan x , men klarer kje å gå videre
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 474
- Registrert: 26/02-2021 21:28
-
eirikueland
- Cayley
- Innlegg: 76
- Registrert: 17/11-2022 14:35
eg satt u=tan x , men klarer kje å gå videre .
Mer detaljert, (og forhåpentligvis mer korrekt) om $\int\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx:$
Ved substitusjonen $x = tan u, dx = 1 + tan^2udu\,$ omdannes integralet til $\int\frac{1}{cosu}du\,$:
$\int\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{1 + tan^2u}}\cdot ({1 + tan^2u})du = \int\sqrt{1 + tan^2}du$
$= \int\sqrt{\frac{1}{cos^2u}}du = \int\frac{1}{cosu}du\,.$ Vi ganger med $cosu$ i teller og nevner:
$\int\frac{1}{cosu}du = \int\frac{cos u}{cos^2u} du = \int\frac{cosu}{1 -sin^2u}du = \int\frac{cosu}{(1+sinu)(1
-sinu)}du$
Setter $sin u = z, dz = cos udu => \int\frac{dz}{(1 + z)(1 - z)}\,$. Delbrøksoppspaltning gir:
$\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1 + z} + \frac{1}{1 - z})dz = \frac{1}{2}ln\frac{1 + z}{1 - z} + C =
\frac{1}{2}ln\frac{1 +
sinu}{1 - sinu} + C \,$. Vi multipliserer med
$1 + sin u$ i teller og nevner:
$\frac{1}{2}ln\frac{(1 + sinu)^2}{1 - sin^2u} + C$ = $\frac{1}{2}ln\frac{(1 + sinu)^2}{cos^2u} + C =$
$ln \sqrt{\frac{(1 + sinu)^2}{cos^2u}} + C = ln\frac{1 + sinu}{cosu} + C = ln(\frac{1}{cosu} + tan u) + C$
Vi tegner den rettvinklede trekanten ABC hvor AB er grunnlinjen og B er den rette vinkelen. Vi lar
$AB = 1, BC = x, \angle BAC = u, AC = 1 + x^2$
$tan u = \frac{x}{1} = x, \frac{1}{cos u} = \sqrt{1 + x^2} =>
\int{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}dx = \int{\frac{1}{cos u}}du = $
$ln(\frac{1}{cosu} + tan u) + C = ln( \sqrt{1 + x^2} + x) + C$
Ved substitusjonen $x = tan u, dx = 1 + tan^2udu\,$ omdannes integralet til $\int\frac{1}{cosu}du\,$:
$\int\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{1 + tan^2u}}\cdot ({1 + tan^2u})du = \int\sqrt{1 + tan^2}du$
$= \int\sqrt{\frac{1}{cos^2u}}du = \int\frac{1}{cosu}du\,.$ Vi ganger med $cosu$ i teller og nevner:
$\int\frac{1}{cosu}du = \int\frac{cos u}{cos^2u} du = \int\frac{cosu}{1 -sin^2u}du = \int\frac{cosu}{(1+sinu)(1
-sinu)}du$
Setter $sin u = z, dz = cos udu => \int\frac{dz}{(1 + z)(1 - z)}\,$. Delbrøksoppspaltning gir:
$\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1 + z} + \frac{1}{1 - z})dz = \frac{1}{2}ln\frac{1 + z}{1 - z} + C =
\frac{1}{2}ln\frac{1 +
sinu}{1 - sinu} + C \,$. Vi multipliserer med
$1 + sin u$ i teller og nevner:
$\frac{1}{2}ln\frac{(1 + sinu)^2}{1 - sin^2u} + C$ = $\frac{1}{2}ln\frac{(1 + sinu)^2}{cos^2u} + C =$
$ln \sqrt{\frac{(1 + sinu)^2}{cos^2u}} + C = ln\frac{1 + sinu}{cosu} + C = ln(\frac{1}{cosu} + tan u) + C$
Vi tegner den rettvinklede trekanten ABC hvor AB er grunnlinjen og B er den rette vinkelen. Vi lar
$AB = 1, BC = x, \angle BAC = u, AC = 1 + x^2$
$tan u = \frac{x}{1} = x, \frac{1}{cos u} = \sqrt{1 + x^2} =>
\int{\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}dx = \int{\frac{1}{cos u}}du = $
$ln(\frac{1}{cosu} + tan u) + C = ln( \sqrt{1 + x^2} + x) + C$
En annen, og noe mer rett fram metode, er her å benytte seg av hyperbolske funksjoner. Ved å anvende identiteten [tex]\cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1[/tex] og substitusjonen [tex]x = \sinh{u}[/tex] får vi:
[tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \cosh{u} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}x = \cosh{u}\mathrm{d}u[/tex]. Innsatt i integralet får vi:
[tex]\int\frac{\mathrm{d}{x}}{\sqrt{1+x^2}} = \int\frac{\cosh{u}\mathrm{d}u}{\sqrt{1+\sinh^2{u}}} = \int\frac{\cosh{u}}{\cosh{u}}\mathrm{d}u = \int\mathrm{d}u = u+C = \sinh^{-1}{x}+C[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \cosh{u} \ \Rightarrow \ \mathrm{d}x = \cosh{u}\mathrm{d}u[/tex]. Innsatt i integralet får vi:
[tex]\int\frac{\mathrm{d}{x}}{\sqrt{1+x^2}} = \int\frac{\cosh{u}\mathrm{d}u}{\sqrt{1+\sinh^2{u}}} = \int\frac{\cosh{u}}{\cosh{u}}\mathrm{d}u = \int\mathrm{d}u = u+C = \sinh^{-1}{x}+C[/tex]