løsningforslag

[eirikueland]

a) Ta for deg en vilkårlig trekant ABC og konstruer den innskrevne sirkelen.
b) La a være motstående side til vinkel A, b til vinkel B og c til vinkel C i trekanten ABC.
Sett: s = (a+b+c)/2

Bevis at radien r i den innskrevne sirkelen er gitt ved
r = (s-a)*tan(A/2) = (s-b)*tan(B/2) = (s-c)*tan(C/2)

[jos]

Sentrum i den innskrevne sirkelen med radius r ligger på skjæringspunktet mellom halveringslinjene til vinklene i trekanten ABC. De tre tangeringspunktene deler hver av sidene $a, b$ og $c$ i to deler, henholdsvis $a_1,a_2, b_1,b_2$ og $c_1, c_2$. Kongruensbetraktninger gir at $a_1 = c_2, a_2 = b_1$ og $b_2 = c_1.$

$ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a_1+a_2 + b_1+b_2 + c_1+c_2}{2} = $

$ \frac{a_1+c_2 + a_2+b_1 + b_2+c_1}{2} = \frac{2a_1 + 2a_2 + 2c_1}{2} = $
$a_1 + a_2 + c_1 = a + c_1 = b + a_1 = c + b_1$
$r = tan\frac{A}{2}c_1 = tan\frac{B}{2}a_1 = tan\frac{C}{2}b_1$ =
$(s-a)tan\frac{A}{2} = (s-b)tan\frac{B}{2} = (s-c)tan\frac{C}{2}$

[eirikueland]

tusen takk for hjelpen

[eirikueland]

i en trekant ABC er A=60 B=90 og r=3 konstruer trekanten og finne a , b , c

[jos]

Går ut fra at "r = 3" viser til radien i en sirkel, men er det snakk om en innskrevet eller omskrevet sirkel?

[Mattebruker]

Set at innskriven sirkel (r = 3 ) med sentrum i S tangerer AB i punktet F. Da er

BF = FS = r = 3

AF = FS/tan30[tex]^{0}[/tex] = [tex]\frac{r}{\frac{1}{\sqrt{3}}}[/tex] = 3 [tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex]

AB = AF + FB = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] + 3

BC = AB [tex]\cdot[/tex]tanA = (3[tex]\sqrt{3}[/tex] + 3 ) tan60[tex]^{0}[/tex] = (3[tex]\sqrt{3}[/tex] + 3 ) [tex]\sqrt{3}[/tex] = 9 + 3[tex]\sqrt{3}[/tex]

AC = [tex]\frac{AB}{cos60^{0}}[/tex] = .............*******

[eirikueland]

den er vel innskrevet sirkel , tusen takk for hjelpen