Eksamen R1 høst 2023

[Vaktmester]

Oppgaven som pdf:

R1_H23.pdf

(1.04 MiB) Lastet ned 12300 ganger

[SpreVitenskapVidere]

Endelig har jeg fått tid til å lage løsningsforslag for R1 høsten 2023. Det kan hende at jeg gjorde feil noen steder eller kunne svart enklere andre steder. Si fra om du har noen forslag. Ny versjon etter tilbakemelding fra noen her (takk for det). Rettet på oppgave 1 og 4 og rettet noen små mangler på 5.

R1_H2023_LK20_Løsningsforslag.pdf

(2.1 MiB) Lastet ned 2289 ganger

Oppdatert løsning kan lastes ned via linken
https://github.com/FO2020/Mateamtikk-R1-/tree/main

ps: Hadde lagt løsningen på feil tråd i går

[Mattebruker]

Føler trong til å kommentere løysingforslaget på eit par punkt ( Del 2 ).

OPPG. 3a

Påstand 1: Grafen til f har minst eitt ekstremalpunkt.
Her må det vere tilstrekkeleg å vise til eit moteksempel:
Tredjegradsfunksjonen f gitt ved
f( x ) = x[tex]^{3 }[/tex]

er monotont veksande ( f'( x) = 3 x[tex]^{2}[/tex] [tex]\geq[/tex] 0 ) og har såleis ingen ekstremalpunkt .
Konklusjon: Påstand 1 er feil

OPPG. 3b

Påstand 2 : Alle linjer på forma y = a x + b vil skjere grafen til f.

Denne påstanden bør vi kunne grunngje utan å utføre eit omstendeleg reknearbeid:
Den allmenne tredjegradsfunksjonen f har V[tex]_{f}[/tex] = D[tex]_{f}[/tex] = R ( gjeld alle polynomfunksjonar av odde grad , 3. , 5. , 7. , o.s.v. )
La P[tex]_{0}[/tex]( x[tex]_{0}[/tex] , y[tex]_{0}[/tex] ) vere eit fritt vald punkt på grafen til f. Dette punktet kan vi "passe inn " i linjelikninga
y = ax + b ved å velje konstantleddet b = y[tex]_{0}[/tex] - a[tex]\cdot[/tex]x[tex]_{0}[/tex]
Konklusjon: Påstand 2 er sann.

OPPG. 5 a

Kva for ein fart hadde pucken då han blei send av garde ?

[tex]\overrightarrow{v(0)}[/tex] = [tex]\overrightarrow{r'(0)}[/tex] = [ -16 , -10 ]

NB! Oppgåva spør ikkje "eksplisitt" etter [tex]\left | \overrightarrow{v(0)} \right |[/tex]

OPPG. 5b

Slik eg tolkar oppgåva er svaret på 5a meint som info som skal brukast i neste delspørsmål ( 5 b ).
Fartsvektoren [ -16 , - 10 ] indikerer at pucken held " stø kurs " gjennom 3. kvadrant ( grafen til [tex]\overrightarrow{r(t)}[/tex]
stadfester denne infoen ) heilt til den treffer vantet . Her spør oppgåva etter ein bestemt t- verdi. For å avgjere dette
spørsmålet må vi løyse to likningar :

I 8 ( e[tex]^{-t}[/tex] - t ) = - 30 II 5 ( e[tex]^{-t}[/tex] - t ) = - 15

t = 3 . 773 [tex]\approx[/tex] 3,8 ^^^^^^^^^^^^^^^^ t = 3. 0475 [tex]\approx[/tex] 3.0

Svar: Pucken treffer langsida i 3. kvadrant etter 3.0 sekund ( dette svaret kunne vi også ha kome fram til ved å ignorere [tex]e^{-t}[/tex]- leddet i [tex]\overrightarrow{r(t)}[/tex] )

[SpreVitenskapVidere]

Føler trong til å kommentere løysingforslaget på eit par punkt ( Del 2 ).

OPPG. 3a

Påstand 1: Grafen til f har minst eitt ekstremalpunkt.
Her må det vere tilstrekkeleg å vise til eit moteksempel:
Tredjegradsfunksjonen f gitt ved
f( x ) = x[tex]^{3 }[/tex]

er monotont veksande ( f'( x) = 3 x[tex]^{2}[/tex] [tex]\geq[/tex] 0 ) og har såleis ingen ekstremalpunkt .
Konklusjon: Påstand 1 er feil

OPPG. 3b

Påstand 2 : Alle linjer på forma y = a x + b vil skjere grafen til f.

Denne påstanden bør vi kunne grunngje utan å utføre eit omstendeleg reknearbeid:
Den allmenne tredjegragsfunksjonen f har V[tex]_{f}[/tex] = D[tex]_{f}[/tex] = R.
La P[tex]_{0}[/tex]( x[tex]_{0}[/tex] , y[tex]_{0}[/tex] ) vere eit fritt vald punkt på grafen til f. Dette punktet kan vi "passe inn " i linjelikninga
y = ax + b ved å velje konstantleddet b = y[tex]_{0}[/tex] - a[tex]\cdot[/tex]x[tex]_{0}[/tex]
Konklusjon: Påstand 2 er sann.

OPPG. 5 a

Kva for ein fart hadde pucken då han blei send av garde ?

[tex]\overrightarrow{v(0)}[/tex] = [tex]\overrightarrow{r'(0)}[/tex] = [ -16 , -10 ]

NB! Oppgåva spør ikkje "eksplisitt" etter [tex]\left | \overrightarrow{v(0)} \right |[/tex]

OPPG. 5b

Slik eg tolkar oppgåva er svaret på 5a meint som info som skal brukast i neste delspørsmål ( 5 b ).
Fartsvektoren [ -16 , - 10 ] indikerer at pucken held " stø kurs " gjennom 3. kvadrant ( grafen til [tex]\overrightarrow{r(t)}[/tex]
stadfester denne infoen ) heilt til den treffer vantet . Her spør oppgåva etter ein bestemt t- verdi. For å avgjere dette
spørsmålet må vi løyse to likningar :

I 8 ( e[tex]^{-t}[/tex] - t ) = - 30 II 5 ( e[tex]^{-t}[/tex] - t ) = - 15

t = 3 . 773 [tex]\approx[/tex] 3,8 ^^^^^^^^^^^^^^^^ t = 3. 0475 [tex]\approx[/tex] 3.0

Svar: Pucken treffer langsida i 3. kvadrant etter 3.0 sekund ( dette svaret kunne vi også ha kome fram til ved å ignorere [tex]e^{-t}[/tex]- leddet i [tex]\overrightarrow{r(t)}[/tex] )

Takk for at du brukte tid til å gi tilbakemelding . Dette er noe bra for alle
3a) Enig at det holder med et moteksempel
3b) Kunne vi da ikke brukt samme argument for andregradsfunksjon og da ville vi kommet til feil konklusjon ?
5a) I sensorveiledningen står det at begge to gir full uttelling . Eg blir litt forvirret med begrepene når de sier fart …noen ganger sier de banefart og da regnes det lengen på fartsvektoren (slik det ble gjort i løsningsforslag til eksempeleksamen R1 av udir).
5b) Enig med deg her . Eg prøvde å løse de to ligningene sammen som et ligningssett første gangen med x(r(t))=-30 , y(r(t))=-15 men da får man ingen løsning.

[Mattebruker]

Takk for respons !

Vedk. punkt 3b:

Har forståing for di innvending ! Men til skilnad frå tredjegradsfunksjonen har andregradsfunksjonen ein V[tex]_{f}[/tex] som er avgrensa i " eine enden "
Eksempel 1: f ( x ) = x[tex]^{2}[/tex] har V[tex]_{f }[/tex] = [ 0 , [tex]\rightarrow[/tex] >
Eksempel 2: f( x ) = - x[tex]^{2}[/tex] har V[tex]_{f}[/tex] = < [tex]\leftarrow[/tex] , 0 ]

Generelt gjeld at alle polynomfunksjonar av odde grad ( 3. , 5. , 7. , 9. , ...o.s.v.... ) har ein V[tex]_{f}[/tex] som dekkjer heile R.

[SpreVitenskapVidere]

Takk for respons !

Vedk. punkt 3b:

Har forståing for di innvending ! Men til skilnad frå tredjegradsfunksjonen har andregradsfunksjonen ein V[tex]_{f}[/tex] som er avgrensa i " eine enden "
Eksempel 1: f ( x ) = x[tex]^{2}[/tex] har V[tex]_{f }[/tex] = [ 0 , [tex]\rightarrow[/tex] >
Eksempel 2: f( x ) = - x[tex]^{2}[/tex] har V[tex]_{f}[/tex] = < [tex]\leftarrow[/tex] , 0 ]

Generelt gjeld at alle polynomfunksjonar av odde grad ( 3. , 5. , 7. , 9. , ...o.s.v.... ) har ein V[tex]_{f}[/tex] som dekkjer heile R.

For oppgave 5c
Pucken treffer øverste og nederste vegg når [tex] \begin{aligned}y=\pm 15\\
-30\leq x\leq 30\end{aligned}[/tex] og høyre/venstre vegg når \begin{aligned}x=\pm 30\\
-15\leq y\leq 15\end{aligned}. Men Cas klarer ikke å løse noen av de kombinasjonene sammen ? Kanskje bruke Python eller tenker jeg feil ?
Synes imidlertid at det blir litt rart å løse hver for seg og tilnærme begge to 3 ?

[Mattebruker]

Hallo igjen !

Vedk. punkt 5c: Løysingforslaget ditt er heilt OK, og slik eg sjølv ville ha løyst problemet. Vi kunne kanskje legge til at D[tex]_{\overrightarrow{r}}[/tex] = [ 0 , 3 ] ( jamfør svaret på forrige delspørsmål ( 5b ) ) . Dei funne t - verdiane ligg utafor definisjonsmengda [ 0 , 3 ] , og problemet er difor heilt uinteressant.
Eit anna problem: Ser i løysingforslaget ditt at du klipper ut " dokumentasjon " frå CAS og limer inn kopien i Mat.net. Kunne du gjere vel å forklare( vise ) framgangsmåten( prosedyren ) i denne operasjonen ? Vil setje pris på ei positiv tilbakemelding.

[SpreVitenskapVidere]

Endelig har jeg fått tid til å lage løsningsforslag for R1 høsten 2023. Det kan hende at jeg gjorde feil noen steder eller kunne svart enklere andre steder. Si fra om du har noen forslag. Oppdatert versjon(fikset på oppgave 5 del 2).

R1_H2023_LK20_Løsningsforslag.pdf

(1.15 MiB) Lastet ned 88 ganger

Oppdatert løsning kan lastes ned via linken
https://github.com/FO2020/Mateamtikk-R1-/tree/main

ps: Hadde lagt løsningen på feil tråd i går

[SpreVitenskapVidere]

Hallo igjen !

Vedk. punkt 5c: Løysingforslaget ditt er heilt OK, og slik eg sjølv ville ha løyst problemet. Vi kunne kanskje legge til at D[tex]_{\overrightarrow{r}}[/tex] = [ 0 , 3 ] ( jamfør svaret på forrige delspørsmål ( 5b ) ) . Dei funne t - verdiane ligg utafor definisjonsmengda [ 0 , 3 ] , og problemet er difor heilt uinteressant.
Eit anna problem: Ser i løysingforslaget ditt at du klipper ut " dokumentasjon " frå CAS og limer inn kopien i Mat.net. Kunne du gjere vel å forklare( vise ) framgangsmåten( prosedyren ) i denne operasjonen ? Vil setje pris på ei positiv tilbakemelding.

Hadde ikke tenkt på definisjonensmengden på r, blir ikke den [0,3.05].

IMG_1360.jpeg (191.96 kiB) Vist 4942 ganger

Eg tar bare skjermbilder (windos knapp , shift, s ) så lime inn ...Eg bruker latex via Overleaf .

[SinusCalculus]

Endelig har jeg fått tid til å lage løsningsforslag for R1 høsten 2023. Det kan hende at jeg gjorde feil noen steder eller kunne svart enklere andre steder. Si fra om du har noen forslag.
R1_H2023_LK20_Løsningsforslag.pdf

Oppdatert løsning kan lastes ned via linken
https://github.com/FO2020/Mateamtikk-R1-/tree/main

ps: Hadde lagt løsningen på feil tråd i går

Hei, synes du har løst oppgavene greit, men det er vel noen mangler. På oppgave 1 b) del to skjønner jeg ikke helt hvordan du fikk at det går omtrent 134 sekunder før konsentrasjonen er på 2, 5 mmol/L, når det egentlig skal være omtrent 160 før konsentrasjonen er 2, 0 mmol/L * (ikke 2, 5 mmol/L): (rad 1- 3), samt har du fått i oppgave 1 c) at det vil ta omtrent 283,6 sekunder før konsentrasjonen øker med mindre enn 0.001 mmol/L per
sekund, når det egentlig burde vært t >= 320,8 sekunder: (rad 4-5)

Se vedlagt fil.

[SinusCalculus]

Ønsker også å kommentere at jeg løste oppgave 5 c) også annerledes: Her finner vi først verdien av h og integrere det i funksjonen til arealet (se vedlagt fil):

A(x)= 4 * h* x+ x^2 --> A(x)= 4 * (80/x^2)* x+ x^2



Det miste samlede arealet finner vi ved å finne minimalpunktet, altså A’(x)=0. Minimalsverdien, altså det minste samlede arealet platene kan ha blir dermed 88.42 dm^2.

[arunima]

Hei
Jeg har løst denne samme oppgaven om kassen på en annen måte. For å finne minst areal har jeg brukt høyden som vi har allerede har funnet fra oppgave a siden den samlende arealet skal fortsatt være 120 dm^2, men vi vet at de sier i oppgaven at volumet kan ikke være mer en 80dm^3 så jeg løser v(x)= 80 og finner en verdi for x og denne verdien legger jeg inn i areal funksjonen. Er dette en riktig måte å løse oppgaven på?

[SpreVitenskapVidere]

Endelig har jeg fått tid til å lage løsningsforslag for R1 høsten 2023. Det kan hende at jeg gjorde feil noen steder eller kunne svart enklere andre steder. Si fra om du har noen forslag.
R1_H2023_LK20_Løsningsforslag.pdf

Oppdatert løsning kan lastes ned via linken
https://github.com/FO2020/Mateamtikk-R1-/tree/main

ps: Hadde lagt løsningen på feil tråd i går

Hei, synes du har løst oppgavene greit, men det er vel noen mangler. På oppgave 1 b) del to skjønner jeg ikke helt hvordan du fikk at det går omtrent 134 sekunder før konsentrasjonen er på 2, 5 mmol/L, når det egentlig skal være omtrent 160 før konsentrasjonen er 2, 0 mmol/L * (ikke 2, 5 mmol/L): (rad 1- 3), samt har du fått i oppgave 1 c) at det vil ta omtrent 283,6 sekunder før konsentrasjonen øker med mindre enn 0.001 mmol/L per
sekund, når det egentlig burde vært t >= 320,8 sekunder: (rad 4-5)

Se vedlagt fil.

Fikk 134 siden geogebra ga feil svar når jeg definerte funksjonen ved å skrive [tex] $f(x)=2,5+g(x)$[/tex]. Det ble riktig når jeg byttet g med funksjonsutrykket

[SpreVitenskapVidere]

Ønsker også å kommentere at jeg løste oppgave 5 c) også annerledes: Her finner vi først verdien av h og integrere det i funksjonen til arealet (se vedlagt fil):

A(x)= 4 * h* x+ x^2 --> A(x)= 4 * (80/x^2)* x+ x^2



Det miste samlede arealet finner vi ved å finne minimalpunktet, altså A’(x)=0. Minimalsverdien, altså det minste samlede arealet platene kan ha blir dermed 88.42 dm^2.

Du har rett. Jeg måtte sjekke igjen og ser at det gikk litt feil ved åregne s først så areal. Det burde egentlig funket. Eg har endret det i løsningsforslag. Takk for tilbakemelding

[SinusCalculus]

Hei, Farhan. Jeg har gått gjennom løsningsforslaget ditt på nytt. Det ser ganske bra ut, men jeg vil gjerne komme med noen kommentarer angående oppgave 5 c).

Grafisk ser vi at skjæringspunktet mellom pucken og ishockeyspilleren er A=(-10.48,-6.55), når vi definerer begge vektorene. (se vedlagt fil)

Grafisk framstilling.png (44.59 kiB) Vist 4883 ganger

I CAS har vi kommet fram til at Pucken og ishockeyspilleren skjærer punktet A (Kollisjonspunktet), men i ulike tider. Derfor vil ikke spilleren bli truffet av pucken:

CAS oppgave 5 c).png (82.09 kiB) Vist 4883 ganger

Ishockey spilleren «skjærer punktet A (kollisjonspunktet)» etter s= 2.51 sekunder.

Mens pucken «skjærer punktet A (kollisjonspunktet)» etter t= 1.53 sekunder.

Ulike tider.png (11.45 kiB) Vist 4883 ganger