Skjæring mellom kule og linje

[J]

Kula K

x^2+y^2+z^2-16x+20y-14z=12

Linja L

x = 22 + 3t
y = -15 + 8t
z = 9 - t

Vis at L tangerer K, og finn koordinatene til skjæringspunktet.

Noen som kan hjelpe meg?

[Solar Plexsus]

Likningen for kula er

(x - 8)[sup]2[/sup] + (y + 10)[sup]2[/sup] + (z - 7)[sup]2[/sup] = 15[sup]2[/sup].

Dermed blir avstanden d fra sentrum av kula (8,-10,7) til et vilkårlig punkt (x,y,z) på linja

d[sup]2[/sup]
= [(22 + 3t) - 8][sup]2[/sup] + [(-15 + 8t) + 10][sup]2[/sup] + [(9 - t) - 7][sup]2[/sup]
= (14 + 3t)[sup]2[/sup] + (-5 + 8t)[sup]2[/sup] + (2 - t)[sup]2[/sup]
= 196 + 84t + 9t[sup]2[/sup] + 25 - 80t + 64t[sup]2[/sup] + 4 - 4t + t[sup]2[/sup]
= 225 + 74t[sup]2[/sup]
= 15[sup]2[/sup] + 74t[sup]2[/sup].

Herav følger at d ≥ 15 med likhet når t=0. Dette i kombinasjon med det faktum at kulas radius er 15 gir at linja kun tangerer kula. I tangeringspunktet er t=0. Altså er tangeringspunktet
(22, -15,9).

[Gjest]

Flotters