Integral regning- 2MX

[Gjest]

Hei.. Jeg lurte på om det var noen som kunne hjelpe meg med et par oppgaver.

Oppgave 1.
a) regn ut A= [symbol:integral] (5x-x^2)dx

b) Integralet i a kan oppfattes som arealet mellom grafene til to funksjoner f(x) og g(x) der f(x)>0 og g(x)<0 for alle x verdier[1,3].
Finn funksjonsuttrykkene til f(x) og g(x), og begrunn hvorfor f(x)>0 og g(x)<0 for alle x (verdier) [1,3]. Forklar også hvorfor det finnes flere slike funksjonspar.

c) Regn ut A1= 1 [symbol:integral] 3 f(x)dx og A2=1 [symbol:integral] 3 g(x).

d) Forklar hvorfor A=A1-A2

Oppgave 2.
[symbol:integral] (5^x-5^-x)

Tusen takk!!!

[ahe753]

Hei.. Jeg lurte på om det var noen som kunne hjelpe meg med et par oppgaver.

Oppgave 1.
a) regn ut A= [symbol:integral] (5x-x^2)dx

[symbol:integral] (5x-x[sup]2[/sup])dx = [symbol:integral] 5x dx - [symbol:integral] x[sup]2[/sup] dx = (5/2)*x[sup]2[/sup] - (1/3)*x[sup]3[/sup]

b) Integralet i a kan oppfattes som arealet mellom grafene til to funksjoner f(x) og g(x) der f(x)>0 og g(x)<0 for alle x verdier[1,3].
Finn funksjonsuttrykkene til f(x) og g(x), og begrunn hvorfor f(x)>0 og g(x)<0 for alle x (verdier) [1,3]. Forklar også hvorfor det finnes flere slike funksjonspar.

Ettersom et bestemt integral er arealet mellom x-aksen og grafen til funksjonen innenfor integralets grenser, og vi har her f(x)>0>g(x), så kan det i dette tilfellet være slik at

f(x) = 5x
g(x) = -x[sup]2[/sup]

Da vil arealet mellom disse to være

A = [symbol:integral] f(x) dx + [symbol:integral] g(x) dx
= [symbol:integral] 5x dx + [symbol:integral] -x[sup]2[/sup] dx
= [symbol:integral] 5x - x[sup]2[/sup] dx

Det kan finnes flere slike funksjonspar; f.eks. alle slike

f(x) = 5x + c
g(x) = -x[sup]2[/sup] - c

der c er en konstant, c>0, ettersom

[symbol:integral] 5x + c dx + [symbol:integral] -x[sup]2[/sup] - c dx
= (5/2)*x[sup]2[/sup] + cx - (1/3)*x[sup]3[/sup] - cx
= (5/2)*x[sup]2[/sup] - (1/3)*x[sup]3[/sup].

c) Regn ut A1= 1 [symbol:integral] 3 f(x)dx og A2=1 [symbol:integral] 3 g(x).

A[sub]1[/sub] = [sub]1[/sub][symbol:integral][sup]3[/sup] f(x) dx = [sub]1[/sub][symbol:integral][sup]3[/sup] 5x dx = [(5/2)*x[sup]2[/sup]][sub]1[/sub][sup]3[/sup] = (5/2)*3[sup]2[/sup] - (5/2)*1[sup]2[/sup] = 20

A[sub]2[/sub] = [sub]1[/sub][symbol:integral][sup]3[/sup] g(x) dx = [sub]1[/sub][symbol:integral][sup]3[/sup] -x[sup]2[/sup] dx = [-(1/3)*x[sup]3[/sup]][sub]1[/sub][sup]3[/sup] = -(1/3)*3[sup]3[/sup] - (-(1/3)*1[sup]3[/sup]) = -9 + 1/3 = 1/3 - 9*3/3 = (1-27)/3
= -26/3

d) Forklar hvorfor A=A1-A2

Fordi et areal i utgangspunktet ikke er noen negativ størrelse. Og da blir A = |A[sub]1[/sub]| + |A[sub]2[/sub]| = |20| + |(-26/3)| = 20 - (-26/3) = A[sub]1[/sub] - A[sub]2[/sub] = 86/3.

Oppgave 2.
[symbol:integral] (5^x-5^-x)

[symbol:integral] 5[sup]x[/sup] - 5[sup]-x[/sup] dx = [symbol:integral] 5[sup]x[/sup] dx - [symbol:integral] 5 [sup]-x[/sup] dx = 5[sup]x[/sup]/ln(5) - (-5[sup]-x[/sup]/ln(5)) = (5[sup]x[/sup] + 5[sup]-x[/sup])/ln(5)

NB!! Det kan hende jeg har gjort oppgaver feil. Det er sent på natt...