Volum av funksjon

[Gjest]

Jeg er gitt

f(x) = (ln x)/x , x >= 1 (større eller lik)

Jeg skal finne volumet rundt x-aksen fra x=1 til x=5:

[symbol:pi][symbol:integral] ((ln x)/x)^2 dx fra 1 til 5.

Jeg tenker med en gang substitusjon hvor u = (ln x)/x siden jeg vet u' fra en tidligere deloppgave: u' = (1-ln x)/(x^2).

Da får jeg [symbol:pi][symbol:integral] u^2 du, du/dx = (1-ln x)/(x^2). Men etter det punkter er jeg usikker. Kan noen hjelpe?

[Solar Plexsus]

Bruker du substitusjonen u = lnx, får du at x = e[sup]u[/sup] og du/dx = 1/x, så dx = x du = e[sup]u[/sup] du. Altså blir

[symbol:integral] [(lnx/x)][sup]2[/sup] dx
= [symbol:integral] u[sup]2[/sup]*e[sup]-2u[/sup]*e[sup]u[/sup] du
= [symbol:integral] u[sup]2[/sup]*e[sup]-u[/sup] du (Bruk delvis integrasjon to ganger)
= - (u[sup]2[/sup] + 2u + 2)e[sup]-u[/sup] + C
= - ([lnx][sup]2[/sup] + 2lnx + 2)/x + C

der C er en vilkårlig konstant.

[Gjest]

Jeg tror det er lurt å bruke delvis integrasjon:
[symbol:pi] [symbol:integral] ((ln x)/(x))^2 dx = (ln x)^2 * (-1/x) - (-2) [symbol:integral] (ln x)/x^2 dx.

Vi regner ut det andre integralet:
[symbol:integral] (ln x)/x^2 = ln x * (-1/x^2) - (-1) [symbol:integral] 1/x^2 dx = -ln x/x - 1/x

Setter vi inn i det opprinnelige integralet får vi:

[symbol:pi] [symbol:integral] ((ln x)/(x))^2 dx = (ln x)^2 * (-1/x) + 2*((-ln x)/x - 1/x).

Så er det bare å sette inn grensene så skal svaret poppe ut.

Med forbehold om regnefeil