matematikk.net

Når jeg skal finne den partikulære løsningen på en inhomogene likning, f.eks. y'' + y' + 3y = 5xe^(2x) er fremgangsmåten slik at man "prøver" å finne et uttrykk som blant annet inneholder koeffisienter for det som står på høyresiden, men hvordan vet jeg hvordan dette uttrykket skal se ut? Spekulerer....

Hvis høyresiden er et polynom prøver du med en løsning der du tar med alle grader opp til den høyeste som er med.
eks. hvis høyresiden var 14x[sup]3[/sup] blir y[sub]p[/sub] på formen ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d

Hvis høyresiden inneholder leddet ce[sup]kx[/sup] tar du med leddet ae[sup]kx[/sup] i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)
Hvis høyresiden inneholder leddet c*sin(kx) tar du med leddene a*cos(kx) + b*sin(kx) i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)
Hvis høyresiden inneholder leddet c*cos(kx) tar du med leddene a*cos(kx) + b*sin(kx) i y[sub]p[/sub] (der k og c er gitte konstanter)

Hvis dette ikke gir en løsning når du setter inn for y[sub]p[/sub]'', y[sub]p[/sub]' og y i differensialligningen, multipliserer du y[sub]p[/sub] med x og prøver igjen (maks to ganger, y[sub]p[/sub] -> x[sup]2[/sup]y[sub]p[/sub]). Hvis et ledd i på høyresiden(i diff.lign) er en løsning av den assosierte homogene ligningen (y[sub]h[/sub]) kan du multiplisere med x med en gang, så sparer du litt tid.

Men hva hvis det foreligger en blanding av ulike elementer på høyre side, f.eks. 3x[sup]2[/sup] * e[sup]2x[/sup] + 5x - sin 2x
Hvordan begynner man å tenke her? Hva er det første man legger merke til?

Jeg vet ikke helt hvordan det er hvis man har produkt av ulike typer, men hvis vi har for eksempel C[sub]1[/sub]e[sup]kx[/sup] + C[sub]2[/sub]x, blir det:
y[sub]p[/sub] = Ae[sup]kx[/sup] + Bx + C (C[sub]1[/sub], C[sub]2[/sub] og k er konstanter)
Det er fordi ligningen er lineær.


EDIT: endret feil