Diff likn

[Mayhassen]

Noen som kan hjelpe?

dy/dx = (y²-1)/x

[Solar Plexsus]

Dette er en separabel diff.likning:

dy/dx = (y[sup]2[/sup] - 1)/x

dy/(y[sup]2[/sup] - 1) = dx/x

(1/2) [symbol:integral] [1/(y - 1) - 1/(y + 1)] dy = [symbol:integral] dx/x osv.

[Mayhassen]

hmm, har rotet mye med denne nå! Når jeg har intergrert får jeg dette:

1/2 (ln|y-1| - ln|y+1|) = ln|x| + c nå må jeg vel sette e^ i alle ledd og får:
1/2 (y-1 - (y+1)^-1 = x + c tror det er no tull her et sted, jeg får ikke noe til å bli riktig etter dette!

[Solar Plexsus]

Vi har kommet til at

ln│y - 1│- ln│y + 1│ = 2ln│x│ + 2c

ln│(y - 1)/(y + 1)│= ln│x│[sup]2[/sup] + lne[sup]2c[/sup] = ln(e[sup]2c[/sup]*x[sup]2[/sup])

(1) (y - 1)/(y + 1) = [symbol:plussminus]e[sup]2c[/sup] x[sup]2[/sup].

Nå kan [symbol:plussminus]e[sup]2c[/sup] anta hvilken som helst reell verdi utenom 0. Men vi ser at erstatter vi e[sup]2c[/sup] med 0 i (1), får vi y = 1 som også oppfyller differensiakllikningen

(2) dy/dx = (y[sup]2[/sup] - 1)/x.

Alt i alt betyr dette at

(3) (y - 1)/(y + 1) = Cx[sup]2[/sup]

der C er en vilkårlig konstant. Løser vi nå (3) mhp. y, finner vi at

y = (1 + Cx[sup]2[/sup]) / (1 - Cx[sup]2[/sup]).