matematikk.net

Ei bedrift produserar vaffeljern. Fortenesta per vaffeljern er gitt ved funksjonen F, der F(x) = -x^2 + 20x + 125

Her er F(x) fortenesta i kroner per vaffeljern og x er talet på reklamekroner per vaffeljern.

a) Kva blir fortenesta per vaffeljern dersom bedrifta ikkje bruker penger på reklame? Rekn ut F(20). Forklar kva dette betyr i praksis.


Slik jeg oppfatter det så blir fortjenesten per vaffeljern uten reklame:

F(x) = -0 x -0 + 20 x 0 + 125 = 125

Men F(20) gir jo samme svar? Kan det stemme? Gjør jeg noe galt?

F(20) = -20 x -20 + 20 x 20 + 125 = -400 + 400 + 125 = 125 kr

Det er en feil du i det minste har skrevet:

-x^2 = x^2 etter som vi jobber med reelle tall

F(0) = -0 x -0 + 20 x 0 + 125 kr = 125 kr

F(20) = -20^2 + 20 x 20 + 125 kr = 925 kr

Hvis -x^2 egentlig er -(x^2), blir det derimot riktig å skrive som du gjør.

Han mener nok -(x^2). Jon Blund, når du har et uttrykket opphøyet i noe så har du ikke lenger en rett linje, men en graf som krummer seg. Du kan si at leddet 20x bidrar mest til F(x) når x er liten. Når x blir større begynner -x^2 å dominere over 20x og grafen vil snu! Derfor kommer fortjenesten tilbake på 125 når x=20. Du ser lett at F(0)=F(20) fordida blir leddet -x^2+20x = 0 fordi (-20*20 + 20*20 = 0.
Maks fortjeneste får du når F'(X)=0 (du kan sikkert dette men skal prøve å skrive litt TeX

[tex]\frac{dF(x)}{dx}=0[/tex]

[tex]\frac{d(-x^2+20x+125)}{dx}=0[/tex]

[tex]-2x+20=0[/tex]

[tex]2x=20[/tex]

[tex]x=10[/tex]

Det er logisk at etter et en viss mengde med reklamepenger, så blir reklamepengene dyrere enn fortjenesten.

Heisann og takk for svar begge to!

Jeg har ikke oppgaven foran meg for øyeblikket, men jeg tror "mathvrak" har rett i at jeg mener -(x^2) ja.

F(20) og F(0) gir samme svar.

F(20) betyr altså i praksis at man har brukt så mye penger på reklame at det ikke lenger lønner seg? Men hvor mye penger har man brukt på reklame med F(20)? Betyr det at man har brukt 20 kr per vaffeljern?

Desverre forstår jeg heller ikke hva du mener med at maks fortjeneste får en når f(X) = 0?

Takker!

Ja. Det betyr at en har brukt så mye på reklame at fortjenesten er like stor om man ikke hadde brukt reklame i det hele tatt. Så grafen forteller at det er en balanse gang mellom x=0 og x=20 som gir bedre fortjeneste. Du noterte at x=antall reklamepenger pr vaffeljern. Derfor er antall reklamepenger lik 20kr pr vaffeljern.

Vet ikke om du har lært derivasjon? Der grafen har høyest punkt gir høyest fortjeneste. Vi har en fin metode for å løse slike punkter.

Når x=0 og vi øker x ser du at fortjenesten øker og øker. Til et visst punkt (x=10) så synker fortjenesten. Akkurat i det punktet er det ingen stigning verken opp eller ned, derfor er stigningen=0. Matematisk skriver vi det slik: F'(X)=0, og det betyr at du har et topp/bunnpunkt.

Takker for svar mathvrak, jeg skal kikke nærmere på det:-)

Har ikke lært derivasjon ennå, tror ikke det inngår i pensum.

Thanks!

Om du ikke har lært derivasjon, kan den største verdien av F(x) finnes vha. av 2. kvadratsetning:

(1) (x - a)[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup] - 2ax + a[sup]2[/sup].

Ved å anvende formelen (1), får vi følgende omskrivning av F(x):

F(x)
= -x[sup]2[/sup] + 20x + 125
= - [x[sup]2[/sup] - 20x - 125]
= - [ (x[sup]2[/sup] - 2*10x + 10[sup]2[/sup]) - 10[sup]2[/sup] - 125 ]
= - [ (x - 10)[sup]2[/sup] - 100 - 125 ] (bruker (1) med a=10)
= 225 - (x - 10)[sup]2[/sup].

Vi vet at (x - 10)[sup]2[/sup] ≥ 0 og (x - 10)[sup]2[/sup] = 0 hvis og bare hvis x = 10. Dette betyr at F(x) ≤ 225 og F(x) = 225 hvis og bare hvis x = 10. M.a.o. har F(x) sin største verdi når x = 10.