Integral

[Mayhassen]

Hmm, da blei det ikke påske riktig ennå! Klarer ikke å ta ferie når jeg ikke får til en oppgave..

Et flatestykket er avgrenset av grafen til f og førsteaksen. Regn ut arealet av dette flatestykket.

f(x)=(e^(2x)-5e^(x)+4)/e^2x

Nullpunktene er 0 og ln 4.

Gi gjerne noen hint før hele svaret, jeg har ikke peiling på hvordan jeg skal begynne på dette, er det en spesiell metode man må bruke??
Er dette et slikt integral som man må løse med trapes eller simpson metoden? Jeg klarer nå hverfall ikke å løse det med det jeg har lært hverfall

[ahe753]

Hmm, da blei det ikke påske riktig ennå! Klarer ikke å ta ferie når jeg ikke får til en oppgave..

Et flatestykket er avgrenset av grafen til f og førsteaksen. Regn ut arealet av dette flatestykket.

f(x)=(e^(2x)-5e^(x)+4)/e^2x

Nullpunktene er 0 og ln 4.

Gi gjerne noen hint før hele svaret, jeg har ikke peiling på hvordan jeg skal begynne på dette, er det en spesiell metode man må bruke??
Er dette et slikt integral som man må løse med trapes eller simpson metoden? Jeg klarer nå hverfall ikke å løse det med det jeg har lært hverfall

Jeg tror du tenker for vanskelig, jeg skal gi deg noen hint:

Vi kan forkorte:

[tex]f(x)=\frac{e^{2x}-5e^x+4}{e^{2x}}=\frac{e^{2x}}{e^{2x}}-\frac{5e^x}{e^{2x}}+\frac{4}{e^{2x}}=1-\frac{5}{e^x}+\frac{4}{e^{2x}}[/tex]

Husk at

[tex]\int ( a(x)-b(x)+c(x) ) dx = \int a(x) dx - \int b(x) dx + \int c(x) dx[/tex]

og at

[tex]\int kx dx = k \int x dx[/tex], der k er en konstant.

I tillegg er

[tex]\int \frac{1}{e^x} dx = - \frac{1}{e^x} + C[/tex]

og

[tex]e^{2x} = e^2e^x[/tex]

de siste hintene:

[tex]e^{ln \, k} = k, \; e^{a*ln \, k} = k^a[/tex]

[tex]e^0 = 1[/tex]

[Mayhassen]

Tror jeg må kaste inn hånkle jeg, får ikke riktig svar! Ender jo bare opp med mer og mer feil her..hehe
Nå orker ikke hue mitt så mye mer merker jeg! Hadde vært fint om du hadde tatt utregninga!

takker

[ahe753]

Det er greit. Jeg benytter meg av de hintene jeg skrev over, med én endring. Jeg skrev nemlig noe feil!!

[tex]e^{2x} \neq e^2e^x[/tex], men heller [tex]e^{2x} = (e^x)^2[/tex]

Her følger mitt løsningsforslag:

Vi skal finne:

[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx[/tex]

der

[tex]f(x) = \frac{e^{2x}-5e^x+4}{e^{2x}} = 1 - \frac{5}{e^x} + \frac{4}{e^{2x}}[/tex]

Dermed blir integralet vårt seende slik ut:

[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx = \int _0 ^{ln \, 4} 1 dx - \int _0 ^{ln \, 4} \frac{5}{e^x} dx + \int _0 ^{ln \, 4} \frac{4}{e^{2x}} dx [/tex]

Vi løser hvert enkelt av de tre integralene, ett om gangen:

1) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} 1 dx = [x]_0 ^{ln \, 4} = ln \, 4 - 0 = ln \, 4 [/tex]

2) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} \frac{5}{e^x} dx = 5 \int _0 ^{ln \, 4} \frac{1}{e^x} dx = 5[- \frac{1}{e^x}]_0 ^{ln \, 4} = -5[ \frac{1}{e^x}]_0 ^{ln \, 4} = -5( \frac{1}{4} - \frac{1}{1}) = \frac{-5}{4} + 5 = \frac{15}{4}[/tex]

3) [tex]\int _0 ^{ln \, 4} \frac{4}{e^{2x}} dx = 4 \int _0 ^{ln \, 4} \frac{1}{(e^x)^2} dx = 4[ - \frac{1}{2(e^{x})^2}]_0 ^{ln \, 4} = -2[\frac{1}{(e^{x})^2}]_0 ^{ln \, 4} = -2(\frac{1}{4^2} - \frac{1}{1}) = \frac{-2}{16} + 2 = \frac{15}{8}[/tex]

Nå erstatter vi de bestemte integralene med delsvarene vi har fått (og husker på fortegnene):

[tex]\int _0 ^{ln \, 4} f(x) dx = ln \, 4 - \frac{15}{4} + \frac{15}{8} = ln \, 4 + \frac{15-30}{8} = \underline {ln \, 4 - \frac{15}{8}}[/tex].

Svaret kan også skrives [tex]2ln \, 2 - \frac{15}{8}[/tex].

Dette blir et negativt tall, siden [tex]f(x) < 0 \; for \; x \in <0, ln \, 4>[/tex].