aritmetiske rekker, 2mz *øver til matte heldags*

[gjest]

Her er noen oppgaver jeg håper dere kan hjelpe meg med..

Oppgave 1
Gunnar er på sykkelferie. den første dagen sykler han 20 km. deretter vil han øke lengden med 5 km. hver dag. Fra og med dag elleve vil han trappe ned lengden av turen med 3 km hvr dag. Etter å ha syklet til sammen 750 km, må Gunnar avbryte på grunn av overbelastning.

Hvor mange dager varte turen?( det står 16 i fasiten, men jeg vet ikke hvordan man kommer frem til det svaret )

Oppgave 2
I en aritmetisk rekke er summen av de fem første leddene lik 5, og summen av de elleve første leddene er lik 77. finn det første leddet og differeansen i rekka.

Oppgave 3
Mikkel prarer 800 kr. hver måned i 2002. Han får utbetalt lønn i midten av hver måned og setter da inn pengene på en sparekonto. Hvor mye står det på sparekontoen i begynnelsen av 2003?


Håper noen har tid til å hjelpe meg med disse oppgavene. på forhånd takk for svar.

[Magnus]

Ok. Vi vet at det første ledde er 20km. Så er differansen i rekka 5km frem til det 11.leddet.

Vi bruker først formel for summing av aritmetisk rekke fram til dag 11. VI lar n stå for antall dager.

[tex]S_{10} = \frac {a_1 + a_{10}}{2}*10[/tex]

[tex]a_1 = 20[/tex]

[tex]a_{10} = a_1 + (n-1)*d = 20 + 9*5 = 20+45 = 65[/tex]

[tex]S_{10} = \frac {20 + 65}{2}*10 = 425km [/tex]

Så vet vi at etter nå så er det 750km - 425km = 325km igjen å sykle. Rekkas differens er nå -3.

a_11 må da være lik 65-3 = 62km.

[tex]S_{n} = \frac {a_{11} + a_{n}}{2}*n[/tex]

[tex]a_n = a_{11} + (n-1)*-3 = 62 - 3n + 3 = 65-3n [/tex]

[tex]325= \frac {62+65-3n}{2}*n[/tex]

[tex]325 = \frac {127-3n}{2}*n[/tex]

[tex]650 = (127-3n)*n[/tex]

[tex]-3n^2 +127n - 650 = 0[/tex]

[tex]n=5.96 = 6dager[/tex]

Vi får da 10+6dager = 16dager.

oppgave 2

[tex]S_5 = \frac {a_1 + a_5}{2}*5 = \frac {a_1 + a_1 + (n-1)*d}{2}*5[/tex]

[tex]\frac {2a_1 + 4*d}{2}*5 = 5[/tex]

[tex]S_{11}= \frac {a_1 + a_{11}}{2}*5 = \frac {a_{1} + a_{1} + (11-1)*d}{2}*11[/tex]

[tex]\frac {2a_1 + 10*d}{2}*11 = 77[/tex]

to likninger med to ukjente.

[tex]\frac {2a_1 + 4*d}{2}*5 = 5 \to 2a_1 + 4d = 2[/tex]

[tex]a_1 = 1 - 2d[/tex]

Så den andre

[tex]\frac {2a_1 + 10*d}{2}*11 = 77 \to {2a_1 + 10d} = 14[/tex]

[tex]a_1 = 7-5d[/tex]

Setter lik hverandre.

[tex]1-2d = 7-5d[/tex]

[tex]3d = 6 \to d = 2[/tex]

[tex]a_1 = 7-5d = 7-10 = -3[/tex]

Oppgave 3

Oppdatering: 6% rente.

Da setter han inn i hver måned. Det vil si at n må være 12. Hver måned er beløpet det samme = 800kr.

Nå er vi plutselig over på en geometrisk rekke. Summeformelen for en slik rekke er:

[tex]S_n = \frac {a_1(p^n -1)}{p-1}[/tex]

p står her for rente = 1.06.

[tex]S_{12} = \frac {800*(1.06^{12} - 1)}{0.06} = 13496kroner[/tex]

[ath]

Jeg lurte også på løsningen av oppg. 3. Men ifølge fasiten så er svaret 9888 kr. Er fasitsvaret feil?