Eg har då for vane at når eg byrjar å rote med noko so går gjerne natta med til det og gjerne dei komande dagane og.
Eg veit at summen av dei n første grunntala er lik (n(n+1))/2Eg har blant anna brukt denne formelen i ei oppgåve, so eg veit den er riktig.
Uansett, javell, flott tenkte eg. Den der vil eg bevise. Og det gjorde eg og, etter litt knoting. Dagen etterpå gjekk eg strålande fornøgd til skulen og ville vise min nyfunne matematiske oppdaging.
Men då smilte ugla. Han godtok ikkje beviset mitt fordi eg hadde vore induktiv. Eg hadde antatt at den stemte fordi den passa for 1 og utifrå denne "hypotesen" hadde eg bevist likninga. Jaja. Skuffa gjekk eg heimover. Og eg har no sete ei goood god stund med den.
Er det nokon skarpe hjernar som kan hjelpe meg å føre eit "ekte/direkte" bevis?
Bevisføring ved hjelp av induktive metodar
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
PeerGynt
- World works; done by its invalids
- Innlegg: 389
- Registrert: 25/09-2002 21:50
- Sted: Kristiansand
Her er noen tanker:
1+2+3+4+5+6
her er n=6
6+1 = 7 = n+1
5+2 = 7 = n+1
4+3 = 7 = n+1
1+2+3+4+5+6 = (6+1) + (5+2) + (4+3)
Legg merke til at summene innefor paratesene er n+1.
Vi har n/2 slike summer,
dermed er (n/2)(n+1) gyldig for denne summen.
Vi kan lett gjoere vise samme for n=8 eller n=8000 og det er klart at formelen stemmer når n er et partall.
Hvordan kan vi vise formelen når n er oddetall?
1+2+3+4+5+6
her er n=6
6+1 = 7 = n+1
5+2 = 7 = n+1
4+3 = 7 = n+1
1+2+3+4+5+6 = (6+1) + (5+2) + (4+3)
Legg merke til at summene innefor paratesene er n+1.
Vi har n/2 slike summer,
dermed er (n/2)(n+1) gyldig for denne summen.
Vi kan lett gjoere vise samme for n=8 eller n=8000 og det er klart at formelen stemmer når n er et partall.
Hvordan kan vi vise formelen når n er oddetall?
Så litt på det, vet ikke om dette kan hjelpe:
Oddetall:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
n=7
n + 1 = 8
1 + 7 = 8
2 + 6 = 8
3 + 5 = 8
4 = (n + 1) / 2
Vi har da:
((n - 1)/2) (n + 1) + (n + 1)/2 = (((n^2) - 1)/2) + ((n + 1)/2) =
(((n^2) + n)/2) = n(n + 1)/2
Oddetall:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
n=7
n + 1 = 8
1 + 7 = 8
2 + 6 = 8
3 + 5 = 8
4 = (n + 1) / 2
Vi har da:
((n - 1)/2) (n + 1) + (n + 1)/2 = (((n^2) - 1)/2) + ((n + 1)/2) =
(((n^2) + n)/2) = n(n + 1)/2
Jeg kan prøve med et bevis:
Anta at det stemmer for n=k
Må da først vise at det stemmer for k=1:
(1(1+1))/2 = 1 -> OK! (her kunne vi like gjerne valgt hvilket som helst annet heltall)
For å vise dette induktivt må vi da kunne vise at det stemmer for n=k+1.
Det skal da være nok å vise at:
[sigma][/sigma][sub]i=1[/sub][sup]k+1[/sup] i = [sigma][/sigma][sub]i=1[/sub][sup]k[/sup] i + (k+1)
Det som egentlig står der er at vi vil vise at venstre side:
Summen av alle tall opp til k+1
Er det samme som høyre side:
Som er summen av alle tall opp til k pluss (k+1).
Dette virker veldig rart første gangen, men se litt på det, så kanskje det blir lettere. Kan prøve å forklare på en anna måte også:
La oss si at vi setter inn et tall n=k+1 i formelen (n(n+1))/2=(k+1(k+1+1))/2. Det skulle da svare til summen av de k+1 første leddene. Da vil vi vise at det er det samme som å sette inn et tall k i formelen som da svarer til summen av de k første leddene, og så legge til k+1 en etterpå. Uttrykt matematisk slik:
(k+1(k+1+1))/2 = (k(k+1))/2 + (k+1) (hvis dette viser seg å stemme holder beviset)
Med litt regning kommer vi frem til:
(k+1(k+2))/2 = (k(k+1)+2+2k)/2
(k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2= (k[sup]2[/sup] + k + 2 + 2k)/2
og til slutt:
(k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2 = (k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2
Høyre side var altså lik venstre side, og vi har vist det vi skulle vise.
QED
Viser du dette til læreren din vil han nok gå med på at det er vist induktivt og generelt gjeldende for alle k. Dette er et ekte og direkte bevis. Prøv:)
Induksjonsbevis er sære greier. Har hatt problemer med det selv. Hele greia går egentlig bare ut på å vise at noe stemmer generelt for k+1. For om det da stemmer for k=1, må det stemme for 2.. og da må det stemme for 3 osv.
Metoden er som følger:
Anta at det stemmer for n=k.
Vis at det stemmer for k=1 (kan vise at det stemmer for hvilket som helst annet tilfeldig valgt tall også)
Vis deretter at det stemmer for n=k+1.
Og da har du vist det du skulle vise. Denne type bevis er veldig gunstig om man vil vise ting som har med rekker å gjøre.
Håper dette var mer oppklarende enn forvirrende. Spør om noe var uklart.
Anta at det stemmer for n=k
Må da først vise at det stemmer for k=1:
(1(1+1))/2 = 1 -> OK! (her kunne vi like gjerne valgt hvilket som helst annet heltall)
For å vise dette induktivt må vi da kunne vise at det stemmer for n=k+1.
Det skal da være nok å vise at:
[sigma][/sigma][sub]i=1[/sub][sup]k+1[/sup] i = [sigma][/sigma][sub]i=1[/sub][sup]k[/sup] i + (k+1)
Det som egentlig står der er at vi vil vise at venstre side:
Summen av alle tall opp til k+1
Er det samme som høyre side:
Som er summen av alle tall opp til k pluss (k+1).
Dette virker veldig rart første gangen, men se litt på det, så kanskje det blir lettere. Kan prøve å forklare på en anna måte også:
La oss si at vi setter inn et tall n=k+1 i formelen (n(n+1))/2=(k+1(k+1+1))/2. Det skulle da svare til summen av de k+1 første leddene. Da vil vi vise at det er det samme som å sette inn et tall k i formelen som da svarer til summen av de k første leddene, og så legge til k+1 en etterpå. Uttrykt matematisk slik:
(k+1(k+1+1))/2 = (k(k+1))/2 + (k+1) (hvis dette viser seg å stemme holder beviset)
Med litt regning kommer vi frem til:
(k+1(k+2))/2 = (k(k+1)+2+2k)/2
(k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2= (k[sup]2[/sup] + k + 2 + 2k)/2
og til slutt:
(k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2 = (k[sup]2[/sup] + 3k +2)/2
Høyre side var altså lik venstre side, og vi har vist det vi skulle vise.
QED
Viser du dette til læreren din vil han nok gå med på at det er vist induktivt og generelt gjeldende for alle k. Dette er et ekte og direkte bevis. Prøv:)
Induksjonsbevis er sære greier. Har hatt problemer med det selv. Hele greia går egentlig bare ut på å vise at noe stemmer generelt for k+1. For om det da stemmer for k=1, må det stemme for 2.. og da må det stemme for 3 osv.
Metoden er som følger:
Anta at det stemmer for n=k.
Vis at det stemmer for k=1 (kan vise at det stemmer for hvilket som helst annet tilfeldig valgt tall også)
Vis deretter at det stemmer for n=k+1.
Og da har du vist det du skulle vise. Denne type bevis er veldig gunstig om man vil vise ting som har med rekker å gjøre.
Håper dette var mer oppklarende enn forvirrende. Spør om noe var uklart.