Integral

[gjest]

Hei. Har en oppgave i integralregning der jeg trenger litt hjelp. Oppgaven er sånn:
Finn det ubestemte integralet:
[symbol:integral] ln x/x dx
Integralet skulle løses ved delvis integrasjon og svaret skal iht fasit bli
1/2(ln x)^2+c
Håper noen kan vise meg hvordan dette gjøres.
Mvh
Gjest

[*Sorcerer*]

Du må dele opp brøken:

[tex]\int {\frac{{Ln x}}{x}dx} = \int {\frac{1}{x}*Ln x \ dx}[/tex]

Så kan du løse det ved delvis integrasjon ved å la den deriverte være 1/x.

Men denne oppgaven er mye enklere å løse med substitusjon. La i så fall u = Ln x.

[Gjest]

Det funker ikke med delvis integrasjon. Hvis u' = 1/x og v = ln x, får man bare det samme integralet å løse på nytt (ettersom u = v). Da er siste mulighet å sette u' = ln x og v = 1/x, men dette blir komplisert, for nå må vi løse integralet av -(x ln x - x)/x[sup]2[/sup] for å finne løsningen.

Vi må i stedet bruke substitusjon med u = ln x. Da blir dx = du/(ln x)' = du/(1/x) = x du.

[tex]\int \frac{\ln x}{x} \,dx = \int \frac{u}{x} x \,du = \int u \,du =\frac{1}{2} u^2 = \frac{1}{2} (\ln x)^2[/tex]

[*Sorcerer*]

Det går fint å løse dette integralet med delvis integrasjon:

[tex]\int {\frac{{\ln x}}{x}} \,dx = \int {\frac{1}{x}} \ln x\,dx[/tex]

[tex]\int {\frac{{\ln x}}{x}} \,dx = \ln x \cdot \ln x - \int {\ln x \cdot \frac{1}{x}}[/tex]

[tex]2\int {\frac{{\ln x}}{x}} \,dx = \ln^2 x \Rightarrow \int {\frac{{\ln x}}{x}} \,dx = \frac{1}{2}\ln ^2 x + C[/tex]