matematikk.net

Oppgaven er:
Finn forklaring på at (HVORFOR) denne konstruksjonen fører til det gylne snitt.

Linjestykket AB har lengden d. En normal i punktet B har lengden d/2. Endepunktet av denne normalen kaller vi D. En bue med radius d/2 om punktet D skjærer linjen AD i punktet E. En bue om punktet A med radius AE skjærer linjen AB i punktet C. Punktet C deler AB i det gylne snittet.

Hvordan kan man gi en kortfattet forklaring dette?

Denne konstruksjonen gir en rettvinklet trekant ABD der vinkel B = 90[sup]o[/sup] og punktene C og E ligger på hhv. AB og AD slik at AC = AE og DB = DE. Videre er AB = d og BD = d/2, så

AD = kv.rot(AB[sup]2[/sup] + BC[sup]2[/sup]) = kv.rot(d[sup]2[/sup] + (d/2)[sup]2[/sup]) = ([symbol:rot]5/2)d

iht. Pytagoras' setning. Dermed blir

AC = AE = AD - DE = ([symbol:rot]5/2)d - (1/2)d = [([symbol:rot]5 - 1)/2]d.

Dermed blir

AB/AC
= d / ([([symbol:rot]5 - 1)/2]d)
= 2/([symbol:rot]5 - 1)
= 2([symbol:rot]5 + 1)/[([symbol:rot]5 - 1)([symbol:rot]5 + 1)]
= 2([symbol:rot]5 + 1)/(5 - 1)
= 2([symbol:rot]5 + 1)/4
= ([symbol:rot]5 + 1) /2. q.e.d.