Integrasjonsoppgave

[Thunder]

Har litt vanskeligheter med å løse en integrasjonsoppgave.

[itgl][/itgl]cos2x dx

Har prøvd ved variabelskifte (x til u), men får den ikke til.

Kan noen hjelpe meg med denne?

[administrator]

Hei!
Sett u = 2x

du/dx = 2

Ok?
MVH
KM

[Thunder]

Dette har jeg prøvd. Men skjønner ikke hvorfor jeg ikke får det til.. Har rett og slett stoppet helt opp for meg..

[oro2]

[itgl][/itgl]cos2x dx

u= 2x

dx = du/2

1/2 [itgl][/itgl]cos(u) du

1/2 sin u + C

1/2 sin (2x) + C

[Thunder]

Takker for svar! meget takknemlig!

Har et lite spm til om trigonometriske likninger.
3 sinx-cos x=2 x€[0,2[pi][/pi]]

Denne skal jeg da løse ved regning. Har prøvd å omforme likningen til et sinusuttrykk, men får at amplituden A blir [rot][/rot]10, og dermed får jeg intenting til å stemme.
Finnes det andre løsningsmetoder?

Takker for svar

[sletvik]

Det er 2 tallet på høyre side som gir trøbbel i denne likningen.
Hvis vi dividerer hele likningen med 3 får du

sin x - (1/3)*cos x=2/3

Nå innføres hjelpevinkelen [part][/part]
tan [part][/part]=1/3 -> [part][/part]=0,32

Settes dette inn får vi

sin x - tan [part][/part]*cos x=2/3
sin x*cos [part][/part] - sin [part][/part]*cos x=(2/3)*cos [part][/part]
fordi tan [part][/part]=(sin [part][/part])/(cos [part][/part])

En setning i trigonometrien sier at venstre side nå kan skrives som

sin(x - [part][/part])=(2/3)*cos [part][/part]
sin(x - 0,32)=0,633

Vi setter nå u=x - 0,32 slik at sin u=0,633
Vi tegner grafen, og trekker linjen y=0,633
Fra sin u=0,633 gir kalkulatoren det ene svaret: 0,685
En annen løsning må ifølge grafen være [pi][/pi] - 0,685=2,456

Erstatter vi nå u med (x - 0,32) får vi

x[sub]1[/sub] - 0,32=0,685 -> x[sub]1[/sub]=1,007
x[sub]2[/sub] - 0,32=2,456 -> x[sub]2[/sub]=2,777

Jeg føler ikke selv at dette er et metode en bruker ofte, men den virker, og dersom man skjønner hva som gjøres er man godt på vei.
Spør hvis noe er uklart!

[dischler]

alternativ løsningsmetode:

erstatt sin(x) med [rot][/rot](1-cos[sup]2[/sup](x))

Flytt over slik at rotuttrykket står alene på en av sidene i ligningen.

opphøy så hver av sidene i annen.

flytt alle leddene over på samme side, og du får andregradsligningen:

10*cos[sup]2[/sup](x)+4cos(x)-5=0

Nå kan denne løses (som vanlig andregradligning) med hensyn på cos(x).

[Gjest]

Er enda værre stykke er denne :

[itgl][/itgl]cos² (x) dx

Her har jeg gjort delvis integrasjon og fått :
sin(x) * cos(x) + [itgl][/itgl]Sin² dx

Og bruker :
sin² x = 1 - cos² x

Og får :
Sin x * Cos x + [itgl][/itgl] 1 - cos² x

Og man er like langt.....

[oro2]

[itgl][/itgl]cos² (x) dx

Jeg tror ikke det er lurt å bruke delvis integrasjon her.

Hvis du bruker følgende relasjoner:
sin[sup]2[/sup](x) + cos[sup]2[/sup](x) = 1 og
cos(2x) = 1 - 2 * sin[sup]2[/sup](x)

så kan du skrive integralet ditt:

1/2 * [itgl][/itgl](1 + cos(2x) )dx
Det skulle være ganskje lett å løse ved substitusjon, u=2x

Da får du til slutt
1/2 * x + 1/4 * sin (2x) + C

som er akkurat det samme som:
1/2 * cos(x) * sin(x) + 1/2 * x + C
(hvis det stod i fastiten..)

[dischler]

Og får :
Sin x * Cos x + [itgl][/itgl] 1 - cos² x

Og man er like langt.....

neida, du er jo nesten ferdig:

du har:

[itgl][/itgl] cos² x = sin x * cos x + [itgl][/itgl] 1 - cos² x

som gir:

2[itgl][/itgl] cos² x = sin x * cos x + [itgl][/itgl] 1

og dermed:

[itgl][/itgl] cos² x = 1/2 * sin x * cos x + 1/2 * x + C