Derivasjon/integrasjonssak

[Gjest]

Jeg har en liten sak her, som jeg prøve å løse:

"Likningen f '(T) = r * f(T), der f er en gitt deriverbar funksjon, definerer T som en deriverbar funksjon av r. Finn et uttrykk for dT/dr. "

Jeg er usikker på fremgangsmåten og har forsøkt mye rart, men det har ikke ført frem. Uansett, jeg har en følelse at dette er en typisk "Å, så lett det egentlig var"-oppgave (argh...). Er det noen som kan hjelpe meg ?

[administrator]

Ser at vi har et ubesvart spørsmål. Det er mange år siden jeg befattet meg med diffligninger.....
Finnes det noen der ute som er litt skarpere enn meg (håper og tror det)?

Eller må jeg begynne å bla i boka....?

MVH
KM

[ThomasB]

Første likning sier altså at:
df/dT = r*f, som gir df/f = r*dT

Integrasjon osv gir:
ln|f| = rT + C (C er en vilkårlig konstant)

f(T(r)) = K*e[sup](r*T(r))[/sup], C = ln K

hvis f(T(r)) er gitt som en funksjon av r, kan vi kalle denne funksjonen g:

f(T(r)) = g(r), som gir likningen som skal løses mhp T(r):

g(r) = K*e[sup](r*T(r))[/sup]

T = (ln|g|-C)/r
dT/dr = 1/g * dg/dr * 1/r + (ln|g| - C)*(-1/r[sup]2[/sup])

Svaret blir altså:
dT/dr = g'(r)/(r*g(r)) + (C - ln|g|)/r[sup]2[/sup])

Synes oppgaven ser litt rar ut. Sånn jeg tolker den er altså f en gitt deriverbar funksjon av r, f.eks. f(T(r)) = r[sup]2[/sup].
Så hadde vi altså at f(T(r)) = K*e[sup](r*T(r))[/sup]
I dette eksemplet skal da dette være lik r[sup]2[/sup], noe som definerer T(r). dT/dr følger da av svaret over, med g(r) = r[sup]2[/sup] (hvis jeg har regnet riktig...)

[ThomasB]

Kan jo ta eksemplet litt nøyere for å utdype:

La oss anta at vi skal bruke formelen vår for tilfellet:
f(T(r)) = g(r) = r[sup]2[/sup]

Likningen ga oss altså at f(T) = K*e[sup](r*T(r)][/sup] = r[sup]2[/sup]

Denne likningen definerer nå T(r). En ser lett at følgende T(r) passer:

T(r) = (ln(r[sup]2[/sup]) - ln K)/r = (2*ln|r| - ln K)/r

Dersom vi setter inn denne i K*e[sup]r*T(r)[/sup] får vi nemlig r[sup]2[/sup]. Så deriverer vi:

dT/dr = 1/r * (2/r) + (2*ln|r| - ln (K))*(-1/r[sup]2[/sup]
dT/dr = (2 - 2*ln|r| + ln(K))/r[sup]2[/sup]

Så kontrollerer vi om formelen som ble funnet i forrige post stemmer overens med dette (vi husker at C = ln K)

dT/dr = g'(r)/(r*g(r)) + (C - ln|g|)/r[sup]2[/sup])
dT/dr = 2r/(r*r[sup]2[/sup]) + (ln K - 2 ln|r|)/r[sup]2[/sup] = (2 - 2 ln|r| + ln K)/r[sup]2[/sup]

Og vi ser at de to uttrykkene er like