Finnes det noen huskeregel på når de forskjellige regnemåtene skal brukes? Har noen gode eksempler?
På forhånd takk!
Sannsynligsregning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hei, dette er min første post her og jeg har et spørsmål som kanskje er litt vanskelig å svare på, men jeg prøver allikevel. Jeg har nå jobbet masse med sannsynlighetsregning og blir bare mer og mer forvirret. Grunnen til forvirrelsen er at jeg har lært alle formlene, men jeg forstår ikke når de forskjellige formlene skal brukes. Av og til bruker jeg f.eks. (12 over 3) når svaret egentlig er 3/12. Fakultet ! er også på samme måten.
Finnes det noen huskeregel på når de forskjellige regnemåtene skal brukes? Har noen gode eksempler?
På forhånd takk!
Finnes det noen huskeregel på når de forskjellige regnemåtene skal brukes? Har noen gode eksempler?
På forhånd takk!
Heisann!
Jeg ser av profilen din at du er lærerstudent, så jeg skal prøve å gi deg et svar ut i fra hva jeg vet er pensumet på lærerskolen.
Prinsippet er at når vi regner med sannsynlighet, så er det:
antall gunstige
antall mulige
Dette prinsippet går alltid igjen når det gjelder sannsynlighet, men det er ikke alltid like lett å se med en gang hvor mange gunstige det er, og hvor mange mulige det finnes. Til dette bruker vi en del prinsipper innen kombinatorikk. Kombinatorikk er læren om ordning og gruppering av elementer. Det første som er viktig å se, er at kombinatorikk ikke er det samme som sannsynlighet, men at vi trenger kombinatorikken for å kunne regne sannsynlighet.
Jeg starter med noen prinsipper innen kombinatorikken:
Når man skal finne hvor mange kombinasjoner som finnes, bruker man multiplikasjonsprinsippet. Det vil si at man multipliserer antall variable i hver hendelse med hverandre. For eksempel: Hvor mange forskjellige kombinasjoner kan man få når man kaster to terninger? En terning kan vise 1,2,3,4,5 eller 6 øyne (variablene), og vi har to hendelser (kast med terning). Dermed får vi 6*6=36 mulige kombinasjoner. Hvis det er snakk om et kast med tre terninger, får vi 6*6*6=6[sup]3[/sup] =216 mulige kombinasjoner. For å forstå hvorfor multiplikasjonsprinsippet er som det er, så kan det lønne seg å sette opp kombinasjonene selv, slik at du ser systemet, eller du kan også se på http://www.matematikk.net/sannsynlighet ... ighet.html under temaet kombinatorikk.
I de eksemplene jeg har brukt så langt, så har hendelsene vært uavhengige. Med det mener jeg at resultatet i en av hendelsene ikke påvirker antallet variable jeg har i neste hendelse. Jeg kan fortsatt få en sekser i neste kast, selv om jeg fikk en sekser i første kast. Så når hendelsene er uavhengige, og du har samme antall variable i alle hendelser, gjelder det generelt at variable[sup]antall hendelser[/sup] , f.eks. 6(variable)[sup]3 kast (hendelser)[/sup].
I noen tilfeller er variablene avhengige av hverandre. Dette kan f.eks. være når du lurer på hvor mange måter man kan sette sammen en resultatliste når man har 5 deltakere. En person kan bare ha én plassering, og dermed vil vi få følgende: på førsteplassen kan man ha 5 personer (variable), men da har man bare igjen 4 personer (variable) på andreplassen osv nedover. Dermed får vi 5*4*3*2*1= 5!=120 forskjellige kombinasjoner. Fakultet brukes altså når man i kombinatorikken skal finne antall mulige kombinasjoner når variablene er avhengige.
Binomialkoeffisienten brukes når du skal se på hvor mange måter du kan trekke en liten gruppe ut av en stor gruppe, og rekkefølgen av det du trekker ut, ikke har noe å si. Dette kan f.eks. være hvis du skal se på hvor mange forskjellige par du kan få, ut av en gruppe på fem mennesker. Generelt har man at på den første plassen i paret, har man 5 mennesker å velge mellom, og på den andre plassen, har man da 4 mennesker igjen å velge mellom. Dette gir oss 5*4 kombinasjoner. Men siden rekkefølgen på paret er likegyldig, må vi dele på de kombinasjonene som er like. F.eks. så er Per + Kari, det samme som Kari + Per i denne sammenhengen. Altså må vi dele på hvor mange forskjellige måter vi kan sette sammen det samme paret på, og det er: 2*1 måter. Dermed får vi at man kan trekke (5 over 2) = 5*4/2*1=10 forskjellige par ut av de 5 personene. Binomialkoeffisienten brukes altså når man har avhengige hendelser der rekkefølgen ikke har noe å si. (uordnet utvalg)
Jeg har nå bare snakket kombinatorikk, men det jeg har vist over her, er nettopp de prinsippene vi bruker får å kunne finne antall gunstige og mulige i sannsynlighetsregningen. Hvis du f.eks. skal finne sannsynligheten for bare seksere på 3 kast, så kan du bruke kombinatorikken på antall gunstige: 1[sup]3[/sup] =1. (Siden det bare er ett bestemt antall øyne vi er ute etter, så er variabelen der lik 1). På antall mulige, får vi derimot: 6[sup]3[/sup]=216. Sannsynligheten for bare seksere på tre kast, er altså: 1/6*1/6*1/6=1/216.
Jeg håper du har blitt noe klokere av dette. Hvis noe er uklart, så er det bare å spørre igjen. Siden det tar plass å forklare, og du ikke spurte spesifikt om det, så har jeg ikke sagt noe om hypergeometrisk og binomisk sannsynlighetsfordeling. I sannsynlighet er det viktig å forstå hvorfor formlene er som de er. Ellers vil du raskt bli stående fast når oppgavene endrer formuleringene litt. Men selv om du forstår prinsippene, så krever sannsynlighet mye praktisk trening i å regne oppgaver også, slik at man trener seg opp til å se hva som er hva.
MVH
Linda
Jeg ser av profilen din at du er lærerstudent, så jeg skal prøve å gi deg et svar ut i fra hva jeg vet er pensumet på lærerskolen.
Prinsippet er at når vi regner med sannsynlighet, så er det:
antall gunstige
antall mulige
Dette prinsippet går alltid igjen når det gjelder sannsynlighet, men det er ikke alltid like lett å se med en gang hvor mange gunstige det er, og hvor mange mulige det finnes. Til dette bruker vi en del prinsipper innen kombinatorikk. Kombinatorikk er læren om ordning og gruppering av elementer. Det første som er viktig å se, er at kombinatorikk ikke er det samme som sannsynlighet, men at vi trenger kombinatorikken for å kunne regne sannsynlighet.
Jeg starter med noen prinsipper innen kombinatorikken:
Når man skal finne hvor mange kombinasjoner som finnes, bruker man multiplikasjonsprinsippet. Det vil si at man multipliserer antall variable i hver hendelse med hverandre. For eksempel: Hvor mange forskjellige kombinasjoner kan man få når man kaster to terninger? En terning kan vise 1,2,3,4,5 eller 6 øyne (variablene), og vi har to hendelser (kast med terning). Dermed får vi 6*6=36 mulige kombinasjoner. Hvis det er snakk om et kast med tre terninger, får vi 6*6*6=6[sup]3[/sup] =216 mulige kombinasjoner. For å forstå hvorfor multiplikasjonsprinsippet er som det er, så kan det lønne seg å sette opp kombinasjonene selv, slik at du ser systemet, eller du kan også se på http://www.matematikk.net/sannsynlighet ... ighet.html under temaet kombinatorikk.
I de eksemplene jeg har brukt så langt, så har hendelsene vært uavhengige. Med det mener jeg at resultatet i en av hendelsene ikke påvirker antallet variable jeg har i neste hendelse. Jeg kan fortsatt få en sekser i neste kast, selv om jeg fikk en sekser i første kast. Så når hendelsene er uavhengige, og du har samme antall variable i alle hendelser, gjelder det generelt at variable[sup]antall hendelser[/sup] , f.eks. 6(variable)[sup]3 kast (hendelser)[/sup].
I noen tilfeller er variablene avhengige av hverandre. Dette kan f.eks. være når du lurer på hvor mange måter man kan sette sammen en resultatliste når man har 5 deltakere. En person kan bare ha én plassering, og dermed vil vi få følgende: på førsteplassen kan man ha 5 personer (variable), men da har man bare igjen 4 personer (variable) på andreplassen osv nedover. Dermed får vi 5*4*3*2*1= 5!=120 forskjellige kombinasjoner. Fakultet brukes altså når man i kombinatorikken skal finne antall mulige kombinasjoner når variablene er avhengige.
Binomialkoeffisienten brukes når du skal se på hvor mange måter du kan trekke en liten gruppe ut av en stor gruppe, og rekkefølgen av det du trekker ut, ikke har noe å si. Dette kan f.eks. være hvis du skal se på hvor mange forskjellige par du kan få, ut av en gruppe på fem mennesker. Generelt har man at på den første plassen i paret, har man 5 mennesker å velge mellom, og på den andre plassen, har man da 4 mennesker igjen å velge mellom. Dette gir oss 5*4 kombinasjoner. Men siden rekkefølgen på paret er likegyldig, må vi dele på de kombinasjonene som er like. F.eks. så er Per + Kari, det samme som Kari + Per i denne sammenhengen. Altså må vi dele på hvor mange forskjellige måter vi kan sette sammen det samme paret på, og det er: 2*1 måter. Dermed får vi at man kan trekke (5 over 2) = 5*4/2*1=10 forskjellige par ut av de 5 personene. Binomialkoeffisienten brukes altså når man har avhengige hendelser der rekkefølgen ikke har noe å si. (uordnet utvalg)
Jeg har nå bare snakket kombinatorikk, men det jeg har vist over her, er nettopp de prinsippene vi bruker får å kunne finne antall gunstige og mulige i sannsynlighetsregningen. Hvis du f.eks. skal finne sannsynligheten for bare seksere på 3 kast, så kan du bruke kombinatorikken på antall gunstige: 1[sup]3[/sup] =1. (Siden det bare er ett bestemt antall øyne vi er ute etter, så er variabelen der lik 1). På antall mulige, får vi derimot: 6[sup]3[/sup]=216. Sannsynligheten for bare seksere på tre kast, er altså: 1/6*1/6*1/6=1/216.
Jeg håper du har blitt noe klokere av dette. Hvis noe er uklart, så er det bare å spørre igjen. Siden det tar plass å forklare, og du ikke spurte spesifikt om det, så har jeg ikke sagt noe om hypergeometrisk og binomisk sannsynlighetsfordeling. I sannsynlighet er det viktig å forstå hvorfor formlene er som de er. Ellers vil du raskt bli stående fast når oppgavene endrer formuleringene litt. Men selv om du forstår prinsippene, så krever sannsynlighet mye praktisk trening i å regne oppgaver også, slik at man trener seg opp til å se hva som er hva.
MVH
Linda
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Jeg takker for et godt og utfyllende svar. Dette hjalp bra. Et lite spørsmål til. En oppgave er som flg. På en kino er det to saler A og B, og hver annen time vises det ny film i hver sal. Totalt vises det 8 filmer pr. sal daglig, totalt 16 filmer pr dag. (Alle filmene er forskjellige). a)På en dag skal jeg se 7 filmer som jeg har valgt ut men de må ikke gå til samme tidspunkt på hver sin sal. Hvor stor er sannsynligheten for at to av forestillingene går samtidig?
b)Videre spør jeg om at en venn av meg skal se 3 filmer samme dagen som han har plukket ut tilfeldig uavhengig av meg. Hvor stor sansynlighet er det for vi møtes på minst en forstilling?
c) hva er sannsynligheten fra at jeg og kompisen min møtes på Sal 1 kl. 17.00.
Kjøreplan for kinoen:
X=forstilling
A B
09.00 X X
11.00 X X
13.00 X X
15.00 X X
17.00 X X
19.00 X X
21.00 X X
23.00 X X
Jeg har ikke hele svaret på denne oppgaven, men jeg er interessert i å høre svaret på denne siden jeg selv er litt usikker i tankemåten.
Denne oppgaven var ikke blant de mest oversiktlige å løse, så for å ikke surre meg helt bort, spurte jeg en av mine gamle lærere innen sannsynlighetsregning til råds. Han kom med dette forslaget til løsning, men det er med forbehold om feil, siden det gikk litt fort.
a) Det finnes i alt 16 kombinasjoner av tidspunkt og film, nemlig A1, A2, . . . , A8 og B1, B2, . . . , B8. Av disse velges tilfeldig 7. Det kan gjøres på m= (16 over 7) måter=11440 måter. Vi vil beregne sannsynligheten for at det ikke er overlapp. For å finne
antall 7-utvalg som ikke overlapper, kan vi resonnere slik:
Vi må velge 7 separate tidspunkter. Det kan gjøres på (8 over 7)=8 måter. For hvert tidspunkt finnes det to valgmuligheter, slik at vi tilsammen får g = 8*2 [sup]7[/sup] = 1024 gunstige utvalg. Dette betyr at sannsynligheten for at det ikke skal bli overlapp blir 1024/11440 . Den søkte sannsynligheten (for overlapping) blir derfor 1-1024/11440 = 651/715.
b) Her forutsetter jeg at du har valgt ut 7 ikke-overlappende filmer og at kameraten din velger 3 ikke-overlappende filmer. Det er kanskje lettest å behandle dette spørsmålet via betinget sannsynlighet. Vi tenker oss at det
er gitt 16 ledige felter og at det settes kryss i feltene som svarer til de 7
ikke-overlappende filmene du har valgt. Det er lettest først å finne sannsynligheten for at tre rundinger som innplasseres tilfeldig og ikke-overlappende, skal bomme på kryssene.
Det er imidlertid bare 7 av de 8 tidspunktene som er okkupert. Det finnes
prinsippielt to måter å unngå kryssene på ved innplassering av 3 rundinger. Vi kan enten unngå det helt ledige tidspunktet eller vi kan benytte det helt ledige tidspunktet.
Sannsynligheten for å unngå kryss ved å benytte det ledige tidspunktet blir
p[sub]1[/sub]=3*1/8*7/14*6/13=9/104.
Dette blir korrekt, fordi: 1/8 er sannsynligheten for at den første filmen som velges okkuperer det helt ledige tidspunktet, 7/14 er sannsynligheten for at den andre filmen som velges ikke overlapper med noen kryss eller med den første rundingen, gitt at den første rundingen havnet på det ledige tidspunktet. Tilsvarende blir sannsynligheten 6/13 for at den siste rundingen skal settes på et akseptabelt felt uten kryss, gitt gunstig innplassering av de to foregående rundingene. Vi har multiplisert med 3 fordi det ledige tidspunktet også kan benyttes i 2. eller 3. filmvalg.
Sannsynligheten for å unngå kryss uten å benytte det ledige tidspunktet blir:
p[sub]2[/sub]=7/14*6/13*5/12=5/52.
Sannsynligheten for at du og kameraten ikke møtes, blir derfor p[sub]1[/sub]+p[sub]2[/sub]=38/208=19/104. Sannsynligheten for å treffes, blir altså 1-19/104=85/104.
c) Siden personene velger uavhengig av hverandre, blir den søkte sannsynligheten:
(7/8*1/2)*(3/8*1/2)=21/256.
Sannsynligheten er jo her 7/8 for at du har valgt en film som starter kl. 17.00. Vi multipliserer med 0,5 siden det er 50% sjanse for at du da velger filmen i sal 1. Tilsvarende resonnement for kameraten. Begge (uavhengige) hendelser må forekomme, så vi multipliserer sammen.
Jeg håper dette gjorde det noe klarere, og hvis det er noe du ikke helt forstår, så er det bare å spørre igjen.
a) Det finnes i alt 16 kombinasjoner av tidspunkt og film, nemlig A1, A2, . . . , A8 og B1, B2, . . . , B8. Av disse velges tilfeldig 7. Det kan gjøres på m= (16 over 7) måter=11440 måter. Vi vil beregne sannsynligheten for at det ikke er overlapp. For å finne
antall 7-utvalg som ikke overlapper, kan vi resonnere slik:
Vi må velge 7 separate tidspunkter. Det kan gjøres på (8 over 7)=8 måter. For hvert tidspunkt finnes det to valgmuligheter, slik at vi tilsammen får g = 8*2 [sup]7[/sup] = 1024 gunstige utvalg. Dette betyr at sannsynligheten for at det ikke skal bli overlapp blir 1024/11440 . Den søkte sannsynligheten (for overlapping) blir derfor 1-1024/11440 = 651/715.
b) Her forutsetter jeg at du har valgt ut 7 ikke-overlappende filmer og at kameraten din velger 3 ikke-overlappende filmer. Det er kanskje lettest å behandle dette spørsmålet via betinget sannsynlighet. Vi tenker oss at det
er gitt 16 ledige felter og at det settes kryss i feltene som svarer til de 7
ikke-overlappende filmene du har valgt. Det er lettest først å finne sannsynligheten for at tre rundinger som innplasseres tilfeldig og ikke-overlappende, skal bomme på kryssene.
Det er imidlertid bare 7 av de 8 tidspunktene som er okkupert. Det finnes
prinsippielt to måter å unngå kryssene på ved innplassering av 3 rundinger. Vi kan enten unngå det helt ledige tidspunktet eller vi kan benytte det helt ledige tidspunktet.
Sannsynligheten for å unngå kryss ved å benytte det ledige tidspunktet blir
p[sub]1[/sub]=3*1/8*7/14*6/13=9/104.
Dette blir korrekt, fordi: 1/8 er sannsynligheten for at den første filmen som velges okkuperer det helt ledige tidspunktet, 7/14 er sannsynligheten for at den andre filmen som velges ikke overlapper med noen kryss eller med den første rundingen, gitt at den første rundingen havnet på det ledige tidspunktet. Tilsvarende blir sannsynligheten 6/13 for at den siste rundingen skal settes på et akseptabelt felt uten kryss, gitt gunstig innplassering av de to foregående rundingene. Vi har multiplisert med 3 fordi det ledige tidspunktet også kan benyttes i 2. eller 3. filmvalg.
Sannsynligheten for å unngå kryss uten å benytte det ledige tidspunktet blir:
p[sub]2[/sub]=7/14*6/13*5/12=5/52.
Sannsynligheten for at du og kameraten ikke møtes, blir derfor p[sub]1[/sub]+p[sub]2[/sub]=38/208=19/104. Sannsynligheten for å treffes, blir altså 1-19/104=85/104.
c) Siden personene velger uavhengig av hverandre, blir den søkte sannsynligheten:
(7/8*1/2)*(3/8*1/2)=21/256.
Sannsynligheten er jo her 7/8 for at du har valgt en film som starter kl. 17.00. Vi multipliserer med 0,5 siden det er 50% sjanse for at du da velger filmen i sal 1. Tilsvarende resonnement for kameraten. Begge (uavhengige) hendelser må forekomme, så vi multipliserer sammen.
Jeg håper dette gjorde det noe klarere, og hvis det er noe du ikke helt forstår, så er det bare å spørre igjen.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Det ble en feil på løsningen av oppgave b) der. Så resonnementet må i stedet bli slik på denne oppgaven:
Sannsynligheten for at de tre rundingene ikke kommer på noen rute med kryss, kan deles opp i to, avhengig av om tidspunktet helt uten kryss berøres eller ikke.
Sannsynligheten for at man ved å sette tre rundinger treffer på dette tidspunktet blir 3/8 , slik at sannsynligheten for ikke å treffe på det blir 5/8 .
Vi får derfor, med samme notasjon som tidligere:
p[sub]1[/sub]=3/8*(1/2)^2=3/32
Og videre får vi:
p[sub]2[/sub]=5/8*(1/2)^3=5/64.
Sannsynligheten for at du og din kamerat møtes blir da 1-p[sub]1[/sub]-p[sub]2[/sub]=1-11/64=53/64.
Sannsynligheten for at de tre rundingene ikke kommer på noen rute med kryss, kan deles opp i to, avhengig av om tidspunktet helt uten kryss berøres eller ikke.
Sannsynligheten for at man ved å sette tre rundinger treffer på dette tidspunktet blir 3/8 , slik at sannsynligheten for ikke å treffe på det blir 5/8 .
Vi får derfor, med samme notasjon som tidligere:
p[sub]1[/sub]=3/8*(1/2)^2=3/32
Og videre får vi:
p[sub]2[/sub]=5/8*(1/2)^3=5/64.
Sannsynligheten for at du og din kamerat møtes blir da 1-p[sub]1[/sub]-p[sub]2[/sub]=1-11/64=53/64.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)