PI - hvor kommer det fra?
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
det du sier er helt ekvivalent med å definere pi som forholdet mellom omkrets og diameter.
-
Gjest
Ein kommentar til ein annan gjest sin kommentar: Det er eit poeng at alle moglege definisjonar av [pi][/pi] skal vera ekvivalente; viss ikkje hadde me snakka om ulike [pi][/pi] med motstridande eigenskapar. Kva for ein av dei moglege definisjonane me føretrekkjer som definisjon, og kva for nokre me vel å stå som resultat som kan utleiast ut frå definisjonen, det er i denne samanhengen ein smakssak.
"Bernoulli" sitt forslag er altså å definera [pi][/pi] som ein 180-graders vinkel. Dette forslaget treng nok ein spesifisering, og det spørst om ikkje spesifiseringa er slik at me får ein lite fordelaktig definisjon (alt for mykje må forklarast før me kjem med definisjonen; ein definisjon bør helst, konvensjonelt sett, vera enkel).
Ein annan definisjon av [pi][/pi] er å la det vera forholdet mellom arealet til ein sirkel og kvadratet av radiusen til sirkelen; [pi][/pi] = A/r^2. Dette er ekvivalent med definisjonen [pi][/pi] = O/d.
Ein tredje definisjon er å la det vera omkrinsen til ein sirkel med diameter 1. Fordelen med denne definisjonen er at me ikkje først må visa at forholdet O/d er konstant (det kunne jo tenkast å vera 3 for enkelte sirklar og 3,5 for andre...) eller at A/r^2 er konstant. At O/d er konstant og lik [pi][/pi] vert altså eit teorem i dette tilfellet.
For øvrig kan [pi][/pi] også definerast som til dømes 4*(1 - 1/3 + 1/5 - ...), og me kan utleda av dette at [pi][/pi] = O/d. Det har jo sjølvsagt ikkje noko særleg for seg. [pi][/pi] kan vidare definerast som det minste positive reelle talet som oppfyller sin [pi][/pi] = 0, der sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + (...), ei rekkje som gjev ein bestemt, endeleg verdi for alle x.
"Bernoulli" sitt forslag er altså å definera [pi][/pi] som ein 180-graders vinkel. Dette forslaget treng nok ein spesifisering, og det spørst om ikkje spesifiseringa er slik at me får ein lite fordelaktig definisjon (alt for mykje må forklarast før me kjem med definisjonen; ein definisjon bør helst, konvensjonelt sett, vera enkel).
Ein annan definisjon av [pi][/pi] er å la det vera forholdet mellom arealet til ein sirkel og kvadratet av radiusen til sirkelen; [pi][/pi] = A/r^2. Dette er ekvivalent med definisjonen [pi][/pi] = O/d.
Ein tredje definisjon er å la det vera omkrinsen til ein sirkel med diameter 1. Fordelen med denne definisjonen er at me ikkje først må visa at forholdet O/d er konstant (det kunne jo tenkast å vera 3 for enkelte sirklar og 3,5 for andre...) eller at A/r^2 er konstant. At O/d er konstant og lik [pi][/pi] vert altså eit teorem i dette tilfellet.
For øvrig kan [pi][/pi] også definerast som til dømes 4*(1 - 1/3 + 1/5 - ...), og me kan utleda av dette at [pi][/pi] = O/d. Det har jo sjølvsagt ikkje noko særleg for seg. [pi][/pi] kan vidare definerast som det minste positive reelle talet som oppfyller sin [pi][/pi] = 0, der sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + (...), ei rekkje som gjev ein bestemt, endeleg verdi for alle x.
-
marv
Pi kan vel også defineres ved et integral? La oss tegne en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Arealet til hele sirkelen blir da lik [pi][/pi]. Hvis vi ser på 1. kvadrant i sirkelen, er høyden y gitt ved \/(1 - x^2) for alle x-verdier fra 0 til 1. Summen av alle disse høydene må da bli 1/4 av [pi][/pi].
1
[itgl][rot] (1 - x^2)[/rot] dx[/itgl] = 1/4 [pi][/pi]
0
Kan dette integralet løses? Regner med at det ikke går?
Kan noen integrasjonsmestre fra universiteter løse dette? Det går ivertfall ikke an med subsitusjon eller delvis integrasjon.
PI
1
[itgl][rot] (1 - x^2)[/rot] dx[/itgl] = 1/4 [pi][/pi]
0
Kan dette integralet løses? Regner med at det ikke går?
Kan noen integrasjonsmestre fra universiteter løse dette? Det går ivertfall ikke an med subsitusjon eller delvis integrasjon.
PI
Se denne tråden for en mer generell utgave av integralet, samme metode kan selvsagt brukes for r=1marv skrev:Med hvilke integrasjonsmetoder er integralet løst?
PI
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=767
Metodene er altså i hovedsak substitusjon og omskrivinger.
Jeg kom på enda et sted dette integralet er diskutert. Nederst i 6. innlegg i denne tråden er en annen substitusjon.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=878
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=878