funksjoner

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Serenity
Cayley
Cayley
Innlegg: 50
Registrert: 07/02-2003 23:40

Har blitt gitt disse verdiene for x.

x-----verdier for x
0-----20,3
2-----18,6
4-----18,0
6-----18,6
8-----20,4
10----22,5
12----24,8
14----26,4
16----27,0
18----26,4
20----24,8
22----22,5
24----20,3

x er antall timer etter midnatt, mens verdiene for x er temperatur målinger.

Jeg skal finne et funksjonsuttrykk som passer til disse temperaturene ved hjelp av den tegnede grafen. Tror det skal skrives på måten f(x)=A sin(kx+p)+d

Er ikke helt sikker på svaret her. Forslag?

I tillegg skal jeg finne når på døgnet f hadde sin største og minste verdi, ved regning. Har prøvd forskjellige metoder, men det blir så komplisert at jeg tviler på svarene mine.

hjelp? :)
Ingenting eksisterer bortsett fra atomer og tomt rom; alt annet er meninger.
oro2
Guru
Guru
Innlegg: 655
Registrert: 23/11-2003 01:47
Sted: Bergen

Hvis du plotter alle verdiene i et koordinatsystem ser du at det blir en sinusform på det, så en funksjon på formen f(x)=A sin(kx+p)+d passer fint det. Da er det bare å bestemme de 4 konstantene slik at det passer best mulig med grafen.

d er likevektslinjen (forskyver vertikalt)
A er amplituden (høyde over/under likevekt)
k er radianfrevnesen (skal være 2[pi][/pi]f, der f er frekvens i hertz (1/T))
p er faseforskvning (forskyver horisontalt)


Hvis du finner et bra uttrykk på denne formen er det enkelt å finne minimum/maksimum. Det er topppunkt/bunnpunkt på grafen. Altså f'(x)=0
På denne funksjonen er det ekstra lett.. det er bare å ta d-A og d+A

__________________________________________________

PS:
Jeg testet litt på kalkulatoren.. og kom frem til at følgende ikke var så langt unna:
d=22.35
A=4.5
k=0.26
p=-2.6

De første kan du faktisk regne ut lett. d må jo være gjennomsnittstemperaturen, og A må være forskjell mellom maks/min og gjennomsnittet.
k er også litt logisk. Peridoden bør jo være ca 24. Så finner du den ut fra det. 2[pi][/pi]/24
PeerGynt
World works; done by its invalids
World works; done by its invalids
Innlegg: 389
Registrert: 25/09-2002 21:50
Sted: Kristiansand

Du kan regne ut gode verdier for alle konstantene.

Amplituden, A, og likevektslinjen, d, er godt beskrevet av oro2.

k - frekvensen
(bestemmer boelgelengden, eller perioden til grafen)
sin(x) har periode 2[pi][/pi]. Vi trenger en periode på 24 timer. Vi må altså finne kx slik at når x er 24 så er kx=2[pi][/pi]:
k24 = 2[pi][/pi] => k=[pi][/pi]/12

p - faseskifte
sin(x) har maks/min ved [pi][/pi]/2 og 3[pi][/pi]/2.
De gitte punktene har min ved 4 timer og max ved 16 timer. Dette tilsvarer henholsvis 4/24 = 1/6 og 16/24 = 2/3 av perioden. Vi vil altså forskjyve sinusfunksjonen slik at min. er naer (1/6)2[pi][/pi] = [pi][/pi]/3 og max. er naer (2/3)s[pi][/pi] = 4[pi][/pi]/3. Vi ser at begge disse tilsvarer en forskjyvning på [pi][/pi] + [pi][/pi]/6 (ettersom [pi][/pi]/2 - [pi][/pi]/3 = [pi][/pi]/6).
p = 7[pi][/pi]/6
PeerGynt
World works; done by its invalids
World works; done by its invalids
Innlegg: 389
Registrert: 25/09-2002 21:50
Sted: Kristiansand

En ting til:

Når man regner ut likevekslinjen så burde man ikke bruke gjennomsnittet av alle pnktene, men kun punktene som beskriver et helt antall perioder. Ettersom punktene for 0 timer og 24 timer ikke tilhoerer samme periode burde vi utelate ett av disse punktene når tar gjennomsnittet. Dette gir:

d = 22.53

fra foer har vi at:

a = 4.5
k = [pi][/pi]/12 = 0.2618
p = 7[pi][/pi]/6 = 3.67

Disse verdiene er tilfeldigvis svaert noeyaktige - noe vi kan se dersom vi foretar en numerisk kurvetilpasning med Levenberg-Marquardt metoden:
y = 4.49sin (0.2616x + 3.67) + 22.53
curve-fit chi^2=0.0215 after 728 iterations
Bilde

Når på doegnet har temperaturen stoerst/minst verdi?
Max: sin([pi][/pi]/2) = 1. Derfor er temperaturen stoerst når
([pi][/pi]/12)x + 7[pi][/pi]/6 = [pi][/pi]/2
Min: sin(3[pi][/pi]/2) = -1. Derfor er temperaturen minst når
([pi][/pi]/12)x + 7[pi][/pi]/6 = 3[pi][/pi]/2
Serenity
Cayley
Cayley
Innlegg: 50
Registrert: 07/02-2003 23:40

Ja, jeg prøvde også på kalkulatoren nå, og jeg fikk samme svar! Kom fram til riktige svar, men var usikker på framgangsmåte o.l. Men tusen takk for utfyllende svar :D
Ingenting eksisterer bortsett fra atomer og tomt rom; alt annet er meninger.
Svar