Integrasjon

[Gjest]

a)
Finn det ubestemte integralet til :

[itgl][/itgl][rot][/rot]r² - x²) dx

Prøvde å sette u = r² - x² men får x utenfor kjærnen, men har problemer videre...


b)
Hvordan man går frem for å tegne linjen gitt ved likningen :

y³ + x³ = 1

[ThomasB]

Integralet er ikke blant de enkleste, så jeg ser ikke umiddelbart hvilket knep som fører fram.

Svaret blir i hvert fall:
[itgl][/itgl][rot][/rot](r[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup])dx = 1/2*x*[rot][/rot](r[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) + 1/2*r[sup]2[/sup]*arctan(x/[rot][/rot](r[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]))

(Dette regnet jeg ut med programmet Maple)

[oro2]

Substituér:
u = arcsin(x/r)

Deriver du/dx og løs mhp du:
du = dx/(r * [rot][/rot]((1 - x[sup]2[/sup]/r[sup]2[/sup])))
(Sjekk side 130 i Rottmann for derivasjon av arcsin)

Integralet kan nå skrives:
[itgl][/itgl]r[sup]2[/sup]cos[sup]2[/sup](u) du

Setter konstant utenfor:
r[sup]2[/sup][itgl][/itgl]cos[sup]2[/sup](u) du

Skriver om: cos[sup]2[/sup](u) = 1/2 + 1/2 * cos(2u) :
r[sup]2[/sup][itgl][/itgl](1/2 + 1/2 * cos(2u)) du

Deler opp integralet, og regner ut det første av de, setter konstant utenfor det andre:
r[sup]2[/sup](u/2 + 1/2*[itgl][/itgl]cos(2u) du)

Regner ut det andre integralet via en enkel substitusjon:
r[sup]2[/sup](u/2 + 1/4*sin(2u))

Vi setter nå tilbake for u = arcsin(x/r):
r[sup]2[/sup](1/2*arcsin(x/r) + x[rot][/rot](1 - x[sup]2[/sup]/r[sup]2[/sup]))/(2r)

Dette svaret er ekvivalent med det som ThomasB fikk.
(Regnet også ut med Maple)

[ThomasB]

b)
Hvordan man går frem for å tegne linjen gitt ved likningen :

y³ + x³ = 1

Her kan du jo bare sette:

y = ³[rot][/rot](1 - x³)

Finn nullpunkter, maks og min (ved derivasjon) og se hva som skjer med y når x går mot + eller - uendelig...